解决EMD端点效应的方法比较

摘要：经验模态分解（EMD）的一个关键问题是改善端点效应。目前工程上已经提出了多种处理方法。在此对端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法等5种方法进行对比研究，利用分解信号与原信号的相似系数、分解信号与原信号的平均相对误差以及算法的运行时间作为端点处理方法的评价指标。仿真结果表明，极值延拓法是处理准周期信号的相对较好的EMD端点效应处理方法。

　　0 引言

　　1998 年，Huang 等人提出了一种新的信号处理方法：经验模态分解方法（Empirical Mode Decomposition,EMD）。它用不同特征尺度的数据序列本征模函数（Intrinsic Mode Function,IMF）分量来逐级分解信号。

　　该方法可以对一个非平稳信号进行平稳化处理。

　　在EMD分解中，每个IMF需要多次“筛选”过程，而每一次筛选过程，需要根据上、下包络计算出信号的局部平均值。上（下）包络是由信号的局部极大（小）值通过3次样条插值得到的。但信号的端点不可能同时处于极大值或极小值，因此上、下包络在数据序列两端会发散，且这种发散会随着运算的进行而逐渐向内，从而使得整个数据序列受到影响，这就是所谓的EMD 方法的端点效应。

　　国内外很多研究者对改进EMD端点效应问题进行了研究。目前，常用的EMD 端点效应处理方法有镜像法、极值延拓法、神经网络预测、多项式外延方法、平行延拓法、边界局部特征尺度延拓法。神经网络延拓算法的运算速度慢，在工程应用中实时性差。所以本文只对镜像法、极值延拓法、多项式法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法进行比较，从而得到对工程应用有指导意义的结果。

　　1 EMD方法

　　EMD方法中假设：

　　（1）任何信号都可以分解为若干个IMF分量；

　　（2）各个IMF分量可以是线性的或非线性的，局部的零点数和极值点数相同，且上下包络关于时间轴局部对称；

　　（3）一个信号可包含若干个IMF分量。

　　每个IMF分量的计算步骤为：

　　首先，计算原信号x（t）的极值点，然后用三次样条函数拟合出极大（小）值包络线e+（t）（ e-（t））。原信号的均值包络m1（t）是上下包络线的平均值：

　　若h11（t）不满足IMF 定义的条件，则它不是平稳信号，重复进行上述过程k 次（ k 一般小于10），直到找到满足IMF的定义的h1k （t） ,则x（t）的一阶IMF分量为：

　　将r1（t）作为原始数据，再得到第2个IMF分量c2 （t） ,依此类推，得到n 个IMF 分量，直到rn （t）是单调函数或常量时，EMD分解过程停止。

　　最后，x（t）经EMD分解后得到：

　　式中rn （t）为趋势项，代表信号的平均趋势或均值。

　　2 改善端点效应的几种方法

　　本文在Matlab下实现了5种常用的改善EMD 端点效应的方法，并用于比较测试，它们分别为：

　　（1）端点镜像方法。以信号两端的边界为对称，把信号向外映射，得到原信号的镜像，形成一个闭合的曲线，从而得到完整的包络曲线。

　　（2）极值延拓法。以端点的一个特征波为依据，在两端各延拓两个极大值和极小值。

　　（3）多项式拟合法。对原信号的极值点序列，利用端点处3 个极值点进行多项式拟合计算出的值作为端点处极值点的近似取值，以确定边界极值点的位置。

　　（4）平行延拓法。利用端点附近的两个相邻极值点（一个极大值，一个极小值）处斜率相等这一特性，人为在两端定义出两个极值点。

　　（5）边界局部特征尺度延拓法。把调幅趋势和端点处局部极值点的时间间隔相结合，在信号两端分别添加一对极大值点和极小值点。

　　3 端点效应评价指标

　　本文采用3个指标来评价多种端点效应处理方法的效果：

　　（1）计算EMD 分解后各分量信号与对应的原信号之间的相似系数ρ 信号的包络发生形状畸变，引起端点效应，从而使各个分量的分解不准确。可以比较EMD分解后的各IMF分量和原信号分量之间的相似度，来评价各抑制端点效应算法的抑制效果。

　　式中：cov-（）表示协方差；σ-（）表示方差；IMFi 表示信号经过EMD分解后的第i 个模态分量；xi 为相对应的原信号组成分量。ρ 值越大，说明端点效应的抑制越好。

　　（2）计算EMD 分解后得到的各IMF 分量和原信号相应的分量之间的平均相对误差[9].

　　式中：N 表示信号的总个数；xi（k）表示原信号第i 个分量；IMFi（k）表示EMD 分解后得到的相应分量。

　　error_IMFi 越小，说明端点效应的抑制越好。

　　（3）运算时间。保证算法抑制端点效应效果的前提下，算法不能过于复杂，以满足实时性。

　　4 实验结果分析

　　假定测试信号是一个调频调幅非线性仿真信号，其表达式为：

　　式中采样频率1 000 Hz,采样点数250 点，时域波形如图1所示。

　　为了比较延拓后的分解结果，将原信号的组成分量一并给出，图2是没有进行端点处理的信号EMD分解结果，从图中可以看到，在两端点处有比较大的失真，并且会“ 向内污染”.图2~图7 中虚线为原分量；实线为EMD的分解结果。

　　图3~图7分别是用端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法延拓后得到的EMD分解结果。

　　由图可知，这几种方法都有效改善了EMD 的端点效应，其中极值延拓法对于端点效应的改善比较明显，其他方法得到的结果，在两端仍有发散现象。表1给出了文中所述5种端点抑制方法对所给信号处理后的性能评价结果。

　　由表1给出参数可看出，对于给定准周期的测试信号，极值延拓法分解得到相似系数最大，分解误差最小，分解精度最高；平行延拓法得到的相似系数最小，分解误差最大，分解精度较低。比较运行时间，极值延拓法和平行延拓法计算速度最快，多项式拟合法耗时较长。

　　5 结语

　　在EMD 分解过程中，由于多次对局部极大值和局部极小值运用3次样条插值，从而产生了引起失真的端点效应。对于本文给出的准周期的测试信号，端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法5种方法都能改善EMD分解的端点效应问题。其中，极值延拓法是5种方法中分解效果最好的、运算速度最快的延拓方法，在工程技术应用中处理类似的信号，可以将其作为端点效应处理的主要方法。当然，工程应用中的信号千差万别，对于不同形式的信号，各种改善EMD 端点效应的延拓方法性能各异。在实际应用中，最好根据所处理信号的特点选择合适的延拓方法。本文所用评价方法，只对实际工程选用合适的延拓方法提供一个参考。

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