leetcode —— 877. 石子游戏

亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。

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来源：力扣（LeetCode）
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动态规划，设dp[i][j]表示在第i堆石头到第j堆石头中，先手的人比后手的人多拿到的分。

也就是说，当石堆个数为偶数时，先手的人是亚历克斯，当石堆个数为奇数个时，先手的人是李。也就是说，当只有一堆石子的时候，dp[0][0]=piles[0]，dp[1][1]=piles[1]，…，dp[n][n]=piles[n]，只有一堆石子的时候表示先手的李比亚历克斯多拿到的分数。

当只有两堆石子的时候，先手的是亚历克斯，那么石子堆的情况有dp[0][1]，dp[1][2]，…，dp[n-1][n]。亚历克斯和李都很聪明，那么先手的亚历克斯的动态规划状态转移方程表示为dp[i][j]=max(piles[i]−dp[i+1][j],piles[j]−dp[i][j−1])dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j],piles[j] - dp[i][j-1])dp[i][j]=max(piles[i]−dp[i+1][j],piles[j]−dp[i][j−1])该公式表示，我先手拿到的石子得分要最大化，因为dp[i][j-1]和dp[i+1][j]都是已经知道的，所以可以得到当前情况下先手的最大得分。

同理，当有三堆石子的时候，先手的变为李，那么状态转移方程同样是dp[i][j]=max(piles[i]−dp[i+1][j],piles[j]−dp[i][j−1])dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j],piles[j] - dp[i][j-1])dp[i][j]=max(piles[i]−dp[i+1][j],piles[j]−dp[i][j−1])这样一直到最后的dp[0][n]就可以判断到底是亚历克斯还是李赢得胜利。

那么可以知道，当石堆个数为n（偶数时），先手的是亚历克斯。如果dp[0][n]大于0，则亚历克斯赢，如果dp[0][n]小于0，则表示后手的李赢。

python代码如下：

class Solution:def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:n = len(piles)dp = [[0]*n for _ in range(n)]for i in range(n):dp[i][i] = piles[i]  # 只有一堆石子的情况for size in range(1,n):  # 判断dp[i][j]中先手的人的得分for i in range(n):j = i + sizeif j >n-1:breakdp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j],piles[j] - dp[i][j-1])return dp[0][n-1] > 0

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