nyoj-1182旅游【三进制状态压缩dp】

这个是经典状态压缩dp tsp问题的变形

首先来看看《挑战程序设计竞赛》讲解tsp问题：

给定一个n个定顶点组成的带权有向图的距离矩阵d(i,j)（INF表示没有变）。要求从顶点0出发，经过每个顶点恰好一次后再回到顶点0。问所经过得边的总权重的最小值是多少？

限制条件

1<n<16

0<d(i,j)<1000

tsp问题是np困难的。没有已知的的多项式时间的高效算法可以解决这一问题。

所有可能的路线共有（n-1）！种。这是个非常大的值。即使在本题中n已经很小了。仍然无法试遍每一种情况。对于这个问题我们可以使用dp来解决。首先让我们试着写出它的递推式。

假设现在已经访问过得顶点的集合（起点0当做还未访问过的顶点）为S.当前所在顶点为v,用dp[S][v]表示从v出发访问剩余的所有顶点。最终回到顶点0的路径的权重总和的最小值。由于从v出发可以移动到任意一个节点u不属于S，因此有如下递推式：

dp[V][0]=0;

dp[S][v]=min{dp[S∪{u}][u]+d(v,u)|u不属于S};

我只要按照这个递推式进行计算就可以了。这样就可以在O(2^n*n^2)的时间里完成计算。

旅游

时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB

难度：4

描述

有n个城市，一个人去旅游，他想游遍n个城市，且每个城市最多去两次，问最短的路程是多少。

起点任意，每两个城市之间可能会有多条路，也可能会没有路。如果能游遍所有的城市

输出最少的，不能的话输出-1

输入: 有多组测试数据，每组都有一个正整数n和m（n>1&&n<=10,m>0）
n表示由n个城市，接下来有m行，每行三个正整数，u,v,w表示
u和v之间有一条长为w的路(w>=0&&w<300)。
输出: 每组数据输出一行，如果能游遍所有的城市，输出最短的距离，如果不能，输出-1
样例输入
样例输入

这道题与经典tsp问题用的是同一种dp递推式。区别是：（1）不需要回路（2）顶点限制的次数+1

经典tsp问题它要求顶点只能遍历一次，所以对于dp的状态，记录的是该顶点的入度。而在这道题里入度的要求则变成了indegree小于等于2.所以问题就从经典tsp的二进制的状态压缩变成了三进制的状态压缩.

对于三进制的状态转移因为不能用位运算了，所以就要对三进制的操作进行预处理并用数组保存。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define Max_V 12
#define INF 0x3f3f3f3f
int n,m;
int g[Max_V][Max_V];
int ter[60000][Max_V];//ter[S][v]表示在S状态中v顶点的入度
int bit[]={1,3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049};
int dp[60000][Max_V];
int findMin(int x,int y)
{return x>y?y:x;
}
void ternary_init()
{//对三进制的操作做预处理
<span style="white-space:pre"> </span>int i, j, b; for(i=0;i<bit[10];i++) { b=i; for(j=0;j<10;j++) { ter[i][j] =b % 3; b/=3; } }
}
void init()
{//初始化memset(g,-1,sizeof(g));memset(dp,INF,sizeof(dp));for(int i=0;i<n;i++)dp[bit[i]][i]=0;
}
int main()
{int i;int u,v,w;ternary_init();while(~scanf("%d%d",&n,&m)){init();for(i=0;i<m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(g[u-1][v-1]>w||g[u-1][v-1]==-1)g[u-1][v-1]=g[v-1][u-1]=w;}int ans=INF;for(int S=0;S<bit[n];S++){//遍历所有状态int flag=true;for(u=0;u<n;u++){if(ter[S][u]==0)flag=false;if(dp[S][u]==INF)continue;for(v=0;v<n;v++){if(u==v||g[u][v]==-1||ter[S][v]>=2)continue;dp[S+bit[v]][v]=findMin(dp[S+bit[v]][v],dp[S][u]+g[u][v]);//状态转移}}if(flag){//所有顶点的入度都大于0for(u=0;u<n;u++)ans=findMin(ans,dp[S][u]);}}if(ans==INF)printf("-1\n");else printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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