关于开灯问题的两种解法

问题描述：
有n盏灯，编号为1~n，每个灯有个开关，按一下打开，再按一下关闭，再按一下打开。第1个人把所有灯打开，第2个人按下编号为2的倍数的灯的开关，第3个人按下编号为3的倍数的灯的开关，依此类推，一共有k个人，问最后有哪些灯开着？输入n和k，输出开着的灯的编号。k<=n<=1000。

第一种解法

即《算法竞赛入门经典》（第2版）的方法，将灯的状态存入一维数组中，设灯亮的状态为1，第一层循环为从第1个人到第k个人，第二层循环为在所有的n盏灯中，当第i个人按i的倍数的开关时，即灯的编号取模i为0，此时灯的状态取反。根据这个思想，核心代码为：

for(int i=1;i<=k;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(j%i==0)a[j]=!a[j];

此种方法简单明了，比较容易理解，但这种方法在第二层循环时，对于从1到n，先判断取模，为0再对该元素取反，是对该数组每个元素进行判断操作，时间上会长一些。*那有没有更快的解法呢？ *

第二种解法

第1个人将灯的状态置1，在两层循环中第一层循环初始值从2开始，到第k个人；第二层循环设变量j，变量增加为j+=i，即第m个人按开关时，不用在从1到n的数组中逐个判断该数组元素下标与m的取模，而是通过变量j+=m直接对数组元素下标是m的倍数的元素进行取反，其余元素直接忽略，在计算上会节省很多时间。可以想像的是，随着第m个人逐渐逼近k，则计算量会更加减少。核心代码如下：

for(int i=2;i<=k;i++)for(int j=i;j<=n;j+=i)a[j]=!a[j];

这种方法理解上可能稍复杂一点，但计算量及时间会减少很多，所以多一下思考，多一种解法，对于算法竞赛训练，是很有效果的。

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