几何分布

几何分布用于描述这种分布：独立事件的结果只有2个：”1和0“ 或”成功和失败“等，成功的概率为ppp, 失败的概率为q=1−pq=1-pq=1−p; 第r次成功的概率为
P(X=r)=p⋅qr−1P(X=r)=p\cdot q^{r-1}P(X=r)=p⋅qr−1

即用来描述进行多次伯努利事件，第1次成功次数的概率；换句话说每一次事件都有成功和失败的可能，所关心的是第一次成功的概率或取得第一次成功需要试验的次数。

期望：E(X)=1p\displaystyle E(X)=\frac {1}{p}E(X)=p1

方差：D(X)=E(X−E(X))=pq2\displaystyle D(X)=E(X-E(X)) = \frac {p}{q^2}D(X)=E(X−E(X))=q2p

由几何分布密度函数可以得出第1, 2, 3, … , k,k+1, …发生的概率为比例系数为q的等比数列，即：

p,pq,pq2,...,pqk−1,pqk,...p,\ pq, \ pq^2,\ ..., pq^{k-1}, \ pq^k, \ ...p, pq, pq2, ...,pqk−1, pqk, ...

P(X=k+1)P(X=k)=q\displaystyle \frac {P(X=k+1)}{P(X=k)}=qP(X=k)P(X=k+1)=q

一种说法是等比数列又被称为几何数列，故该分布称为几何分布。

性质

任何几何分布的众数为1， 看似违反直觉，但第1次成功的概率最大；
大于r次成功的概率，即前r次均失败，为 P(X>r)=qr\large P(X>r)=q^rP(X>r)=qr
小于等于r次成功的概率，即P(X)≤1−qr\large P(X)\le 1-q^rP(X)≤1−qr, 其实就是等比数列求和：
P(X≤r)=∑n=0rp⋅qn−1=p(1−qr)1−q=1−qr\large P(X\le r) = \sum_{n=0}^r{p\cdot q^{n-1}=\frac{p(1-q^r)}{1-q}} = 1-q^rP(X≤r)=n=0∑rp⋅qn−1=1−qp(1−qr)=1−qr

举例

掷色子，1-6点的概率均为1/6，掷出1点算赢，其它点算输，记 X为第一次掷出赢的次数，则：

P(X=r)=pqr−1\Large P(X=r)=pq^{r-1}P(X=r)=pqr−1

其中p为1/6, q为5/6。

scipy.stats 中有geom模块，可以方便的计算各种参数：

"""po = stats.poisson(mu)    #用于构造均值与μ的泊松分布；
po.pmf(k, mu, loc=0)   # Probability mass function. 概率质量函数；
po.cdf(k, mu, loc=0)   #Cumulative distribution function.累积分布函数；
po.ppf(q, mu, loc=0)   # Percent point function 百分点函数（cdf的倒数-百分位数）。
"""
p=1./6
N=20
x=np.arange(N+1)
po = stats.geom(p)     #构造发生概率为p的几何分布
pm = po.pmf(x)         #计算第1次发生次数的概率
# 图形
fig = plt.figure()
ax = plt.gca()
line1 = ax.stem(x,pm,basefmt='k',label='第1次掷出1点概率');
ax.set_xlabel('随机变量：掷出1点的次数');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title('几何分布：p=1/6');ax2=plt.twinx()
y=po.cdf(x)                #计算第1次时间发生的累积分布概率
line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.65,0.8));
ax2.legend(loc=(0.65,0.7))

# 打印累积发生概率大于等于50%的次数
po.ppf(0.5)

输出为：4.0 。

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