前言：

鸽巢原理是离散数学学习种一大难点，主要在于如何去构造鸽子和巢的抽象化，本文是整理了一些笔者学习中遇到的典型例题，加了一些笔者自己的思路，希望能帮助学习离散数学的同学。 PS：这里的大部分例题都是来源于我的课本或者老师课堂讲的例题。

鸽巢原理

鸽巢原理：如果有n+1个鸽子飞进了n个鸽巢中，那么必定有鸽巢中至少飞进了2只鸽子。
鸽巢原理加强版：当n只鸽子飞进m个巢时，必定至少有一个巢中飞进了
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鸽巢原理很好理解，可以先做几个简单的例题来体会一下。

简单的例子

一. 任何367个人里面至少有两人生日相同。

这里相当于是把367个鸽子飞进366（或者365）个鸽巢中，因为一年最多有366天，那么显然至少两人生日相同。

二.任意11个整数中，至少有2个整数之差是10的倍数。

假设这十一个数是 a0 a1 a2 a3 … a10
那么他们关于10的模为 r0 r1 r2 r3 … r10 共11个
（取模运算： a mod b 或写作a%b，就是 a 除以b 的余数)
那么显然我们可知道余数应该是 0 ，1， 2， …， 9 这十个数
我们可以看作11只鸽子飞进了10个鸽巢中，所以至少有两个数关于10的模余数相同，也就是说他们之差是 10 的倍数。

以上是几个体会的例子，很容易理解，下面讲几个需要一点点技巧的例题

需要动点脑子的例子

一. 分配职工训练时间问题

某人正拟定在37天内对职工培训60个单位时间，每天至少培训 1 小时。试证明，无论怎么安排都存在相继的若干天，在这期间安排了12个单位培训时间。
【解析】这道题是一个典型的鸽巢原理例题，关键就在于如何去构造那个相继的若干天，与如何去构造这个鸽巢的模型。这里相继的若干天我们采用数列的部分和来表示，如Sn-Sk，可以表示从第 K天到第 n天连续的几天分配的时间总和。
记这果然每天分别分配的时间为 X1，X2,X3…X37
前i天共分配的时间为 Yi
再令 Zi=Yi+12
那么对于序列 Y1 ,Y2…Y37,Z1,Z2…Z37
因为每天至少分配了一个小时，所以这个序列的两个子列应该都是分别严格单调递增的，也就是说
任意的 i≠j， Yi ≠Yj， Zi ≠ Zj，这一点很重要我们后面需要用到
所以对于序列Y1 ,Y2…Y37,Z1,Z2…Z37 他一共有37+37=74个元素，
最小值是Y1，最大值是 60+12 =72，
考虑极端情况，我们令Y1取最小的值也就是 1，
这时候相当于有 74个鸽子要飞进72个鸽巢中，所以必定存在Yi=Zj=Yj+12
也就是说从j天到i天这连续的 j-i天共分配了12个单位时间

二. 自行车问题

一个人骑车10小时内走完了281公里路程，已知他第一小时走了30公里，最后一小时走了17公里。证明：他一定在某相继的两小时中至少走完了58公里路程。
【解析】十个小时中有九个相继的两小时，这九个小时共走了 2*218-（30+17） = 515 公里，所以相当于有515个鸽子飞进了9个鸽巢中，由鸽巢原理增强版可以得到至少有一个鸽巢中飞进了

三.在世界上任意6个人的集体中，要么有3个人互相认识，要么有3个人互不认识。

【解析】
这六个中我们以其中一个人为参考对象，比如假设这个人是超越妹妹，那么这六个人可以分为两大阵营，第一个阵营是和超越妹妹互相认识的人记为 S1，第二个阵营是和超越妹妹互相不认识的人，记为S2。
S1和S2中至少有一个集合不少于
（因为认识是相互的，我们这里不考虑比如你认识超越妹妹，超越妹妹不认识你的情况。）

1）假设S1中至少有三个人：
要是其中任何两个人都互不认识，那么就找到了3个互不认识的人，即他们三个。
否则，至少有2个人是相互认识的，他们与超越妹妹一起构成了3个互相认识的人的集合。

2）假设S2中至少有3个人：
要是其中任何两个人都相互认识，就找到了3个相互认识的人，也就是他们三个人。
否则，至少有2个人互相不认识，他们与超越妹妹一起组成3个互不认识的人的集合。

以上就是全部内容了，有时间的话我会再更。

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