高等数学（下）无穷级数
文章目录
- 1 常数项级数的概念和性质
- 1.1 定义
- 1.1.1 无穷级数
- 1.1.2 部分和
- 1.1.3 收敛
- 1.2 性质
- 1.3 常见级数
- 1.3.1 几何级数
- 1.3.2 p级数
- 2 常数项级数的审敛法
- 2.1 正项级数
- 2.1.1 定义
- 2.1.2 收敛
- 2.2 正项级数的审敛法
- 2.2.1 比较审敛法
- 2.2.1.1 描述
- 2.2.1.2 极限形式
- 2.2.1.3 记忆法
- 2.2.2 比值审敛法
- 2.2.3 根式审敛法
- 2.2.4 极限审敛法
- 2.3 交错级数
- 2.3.1 定义
- 2.4 交错级数的审敛法
- 2.4.1 莱布尼兹审敛法
- 2.5 绝对收敛与条件收敛
- 3 函数项级数的基本概念
- 3.1 定义
- 3.2 收敛点与发散点
- 3.3 收敛域
- 3.4 和函数
- 4 幂级数
- 4.1 定义
- 4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理
- 4.2.1 描述
- 4.2.2 注
- 4.3 收敛半径与收敛域的计算
- 4.3.1 收敛半径R的求法
- 4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤
- 4.4 幂级数的性质
- 4.4.1 加减法
- 4.4.2 乘法
- 4.4.3 逐项求导
- 4.4.4 逐项求积
- 5 函数展开成幂级数
- 5.1 泰勒级数
- 5.2 麦克劳林级数
- 5.3 泰勒收敛定理
- 5.4 函数幂级数的唯一性
- 5.5 计算法
- 5.5.1 直接法
- 5.5.2 间接法
- 6 三角函数系的正交性
- 7 傅里叶级数
- 7.1 描述
- 7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）
- 7.3 周期延拓
- 7.4 正弦级数和余弦级数
- 7.5 奇延拓与偶延拓
- 7.5.1 奇延拓
- 7.5.2 偶延拓
- 7.6 一般周期函数的傅里叶级数
1 常数项级数的概念和性质
1.1 定义
1.1.1 无穷级数
设给定一个数列： u1,u2,u3…un,…u_1, u_2, u_3 \dots u _ n, \dotsu1,u2,u3…un,…
式子
u1+u2+u3+⋯+un+⋯=∑n=1∞unu _ 1 + u _ 2 + u _ 3 + \dots + u _ n + \dots = \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ nu1+u2+u3+⋯+un+⋯=n=1∑∞un
称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，其中unu _ nun成为一般项或通项。
1.1.2 部分和
前 nnn 项的和为：Sn=u1+u2+⋯+unS_n = u _ 1 + u _ 2 + \dots + u_nSn=u1+u2+⋯+un，称$S_1, S_2, \dots S_n \dots $为部分和数列。
1.1.3 收敛
若limn→∞Sn=S\lim _ {n \to \infty} S _ n = Slimn→∞Sn=S， 称数列收敛，SSS为级数的和，即：
∑n=1∞un=S\sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = Sn=1∑∞un=S
若limn→∞Sn\lim _ {n \to \infty} S _ nlimn→∞Sn 不存在，称级数发散
1.2 性质
- 线性性质
若级数∑un,∑vn\sum u _ n, \sum v _ n∑un,∑vn 都收敛，则
∑(aun±bvn)\sum(a u_n \pm b v_n)∑(aun±bvn)也收敛，且 ∑(aun±bvn)=a∑un±b∑vn\sum(a u_n \pm b v_n) = a \sum u_n \pm b \sum v_n∑(aun±bvn)=a∑un±b∑vn
a,ba, ba,b为常数
级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不变
级数加括号增强收敛性
若级数收敛，则
limn→∞un=0\lim _ {n \to \infty} u_n = 0n→∞limun=0
1.3 常见级数
1.3.1 几何级数
无穷级数
∑n=0∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn+…\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a q ^ {n} = a + aq + aq ^ 2 + \dots + aq ^ n + \dots n=0∑∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn+…
叫做等比级数（几何级数）
当∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1时收敛， 当∣q∣≥1|q| \ge 1∣q∣≥1时发散。
1.3.2 p级数
无穷级数
∑n=0∞1np=1+1n+1n2+⋯+1np+…\sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{1}{n ^ p} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^ 2} + \dots + \frac{1}{n ^ p} + \dots n=0∑∞np1=1+n1+n21+⋯+np1+…
叫做p级数
当∣p∣>1|p| > 1∣p∣>1时收敛， 当∣p∣≤1|p| \le 1∣p∣≤1时发散。
2 常数项级数的审敛法
2.1 正项级数
2.1.1 定义
如果级数的每一项都大于等于零，称级数∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n∑n=1∞un 为正项级数
2.1.2 收敛
正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界
2.2 正项级数的审敛法
2.2.1 比较审敛法
2.2.1.1 描述
设∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un 和 ∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n∑n=1∞vn 都是正项级数，且un≤vn(n=1,2,3… )u_n \le v_n(n = 1, 2, 3 \dots)un≤vn(n=1,2,3…)。若级数∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n∑n=1∞vn收敛，则∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un收敛，反之，若级数∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un发散, 则级数∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v _ n∑n=1∞vn发散。
2.2.1.2 极限形式
设∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un 和 ∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n∑n=1∞vn 都是正项级数，且
limn→∞unvn=l\lim _ {n \to \infty} \frac {u _ n}{v _ n} = ln→∞limvnun=l
若0<l<+∞0 < l < + \infty0<l<+∞，则∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un 与 ∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n∑n=1∞vn，同敛散。
若l=0l = 0l=0，则当∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n∑n=1∞vn收敛，有 ∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un也收敛。
若l=+∞l = + \inftyl=+∞，则当∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un发散，有 ∑n=1∞vn\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n∑n=1∞vn也发散。
2.2.1.3 记忆法
大的收敛，小的必收敛； 小的发散，大的必发散。
2.2.2 比值审敛法
设∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n∑n=1∞un是正项级数，如果
limn→∞un+1un=ρ\lim _ {n \to \infty} \frac{u _ {n + 1}}{u _ n} = \rhon→∞limunun+1=ρ
则当
ρ<1\rho < 1ρ<1时级数收敛
ρ=1\rho = 1ρ=1时级数不定
ρ>1\rho > 1ρ>1时级数发散
2.2.3 根式审敛法
设∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n∑n=1∞un是正项级数，如果
limn→∞unn=ρ\lim _ {n \to \infty} \sqrt [n] {u _ n} = \rhon→∞limnun=ρ
则当
ρ<1\rho < 1ρ<1时级数收敛
ρ=1\rho = 1ρ=1时级数不定
ρ>1\rho > 1ρ>1时级数发散
2.2.4 极限审敛法
利用与ppp级数的比较审敛法可以获得
若limn→∞nun=l\lim _ {n \to \infty} n u _n = llimn→∞nun=l, 当 l>0l > 0l>0 或 l=+∞l = + \inftyl=+∞ 时，则级数 ∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un 发散。
若limn→∞npun=l\lim _ {n \to \infty} n ^ p u _n = llimn→∞npun=l, 当 0≤l<+∞0 \le l < + \infty0≤l<+∞ 时，则级数 ∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n∑n=1∞un 收敛。
2.3 交错级数
2.3.1 定义
∑n=1∞(−1)n−1un\sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n∑n=1∞(−1)n−1un或∑n=1∞(−1)nun\sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n} u_n∑n=1∞(−1)nun（正负交替出现的级数）
2.4 交错级数的审敛法
2.4.1 莱布尼兹审敛法
如果交错级数∑n=1∞(−1)n−1un\sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n∑n=1∞(−1)n−1un满足条件：
un≥un+1(n=1,2,3,… )u _ n \ge u _ {n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)un≥un+1(n=1,2,3,…)
limn→∞un=0\lim _ {n \to \infty} u _ n = 0n→∞limun=0
则级数收敛，且其和s≤u1s \le u _ 1s≤u1，其余项rnr_nrn的绝对值∣rn∣≤un+1|r_n| \le u _ {n + 1}∣rn∣≤un+1
2.5 绝对收敛与条件收敛
设∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n∑n=1∞un为任意项级数
若∣∑n=1∞un∣|\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n|∣∑n=1∞un∣，收敛，则称其为绝对收敛
若∣∑n=1∞un∣|\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n|∣∑n=1∞un∣发散，但∑n=1∞un\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n∑n=1∞un收敛，则称其为条件收敛。
绝对收敛必收敛。
3 函数项级数的基本概念
3.1 定义
称形如∑n=0∞un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+…\sum _ {n = 0} ^ {\infty} u _ n (x) = u _ 1 (x) + u _ 2 (x) + \dots + u _ n (x) + \dots∑n=0∞un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+… 的级数为函数项级数。
3.2 收敛点与发散点
∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)\forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0)∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)收敛，称x0x_0x0为函数项级数的收敛点
∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)\forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0)∀x0∈I,∑n=1∞un(x0)发散，称x0x_0x0为函数项级数的发散点
3.3 收敛域
收敛点的全体
3.4 和函数
若∑n=1∞un(x0)\sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n(x _ 0)∑n=1∞un(x0) 收敛，则∑n=1∞un=s(x)\sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = s(x)∑n=1∞un=s(x)，称 s(x)s(x)s(x) 为和函数。
4 幂级数
4.1 定义
形如
∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+…\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n (x - x_0) ^ n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0) ^ 2 + \dots + a_n (x - x_0) ^ n + \dotsn=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+…
的无穷级数。
4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理
4.2.1 描述
如果幂级数 ∑n=0∞anxn\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n∑n=0∞anxn当x=x0(x≠0)x = x _ 0(x \ne 0)x=x0(x̸=0)时收敛，则对满足不等式∣x∣<∣x0∣|x| < |x_0|∣x∣<∣x0∣的一切xxx，幂级数都收敛，并且是绝对收敛。
如果幂级数 ∑n=0∞anxn\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n∑n=0∞anxn当x=x0(x≠0)x = x _ 0(x \ne 0)x=x0(x̸=0)时发散，则对满足不等式∣x∣>∣x0∣|x| > |x_0|∣x∣>∣x0∣的一切xxx，幂级数都发散。
4.2.2 注
幂级数的收敛域在发散域的内部
幂级数的收敛域为区间
存在正数RRR，使∑n=0∞anxn\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n∑n=0∞anxn在(−R,R)(-R, R)(−R,R) 内收敛，且绝对收敛。
收敛半径：R
收敛区间 ：(−R,R)(-R, R)(−R,R)
收敛域：收敛区间 ∪\cup∪收敛端点
4.3 收敛半径与收敛域的计算
4.3.1 收敛半径R的求法
若∑n=0∞anxn\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n∑n=0∞anxn 的系数ana_nan满足limn→∞∣an+1an∣=ρ\lim _ {n \to \infty} |\frac{a _ {n + 1}}{a_n}| = \rholimn→∞∣anan+1∣=ρ，或 limn→∞∣an∣n=ρ\lim _ {n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rholimn→∞n∣an∣=ρ， （ρ\rhoρ为正常数或+∞+ \infty+∞），那么他的收敛半径为：
当0<ρ<+∞0 < \rho < + \infty0<ρ<+∞，有R=1ρR = \frac{1}{\rho}R=ρ1
当ρ=0\rho = 0ρ=0，有R=+∞R = +\inftyR=+∞
当ρ=+∞\rho = + \inftyρ=+∞，有R=0R = 0R=0
4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤
求出收敛半径 RRR
判别常数项级数∑n=0∞anRn,∑n=0∞an(−R)n\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n R ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n (-R) ^ n∑n=0∞anRn,∑n=0∞an(−R)n的收敛性。
4.4 幂级数的性质
设∑n=0∞anxn,∑n=0∞bnxn\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n∑n=0∞anxn,∑n=0∞bnxn的收敛半径分别为R1,R2R_1, R_2R1,R2，其和函数分别为s1(x),s2(x)s_1(x), s_2(x)s1(x),s2(x)，又设R=min(R1,R2)R = min(R_1, R_2)R=min(R1,R2)，则有以下运算性质：
4.4.1 加减法
∑n=0∞anxn±∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(an±bn)xn=s1(x)±s2(x)\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n \pm \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n = \sum _ {n = 0} ^ \infty (a_n \pm b_n) x ^ n = s_1(x) \pm s_2(x)n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(an±bn)xn=s1(x)±s2(x)
其收敛半径为RRR
4.4.2 乘法
(∑n=0∞anxn)⋅(∑n=0∞bnxn)=s1(x)⋅s2(x)(\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )\cdot( \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n) = s_1(x) \cdot s_2(x)(n=0∑∞anxn)⋅(n=0∑∞bnxn)=s1(x)⋅s2(x)
其收敛半径为RRR
4.4.3 逐项求导
s′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=1∞nanxn−1s'(x) = (\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )' = \sum _ {n = 1} ^ \infty n a_n x ^ {n - 1} s′(x)=(n=0∑∞anxn)′=n=1∑∞nanxn−1
且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。
4.4.4 逐项求积
∫0xs(x)dx=∫0x(∑n=0∞anxn)dx=∑n=0∞ann+1xn+1\int _ 0 ^ x s(x) dx = \int _ 0 ^ x(\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n ) dx = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac {a_n}{n + 1} x ^ {n + 1} ∫0xs(x)dx=∫0x(n=0∑∞anxn)dx=n=0∑∞n+1anxn+1
且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。
5 函数展开成幂级数
5.1 泰勒级数
f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x−x0)+f(2)(x0)(x−x0)22!+⋯+f(n)(x0)(x−x0)nn!+⋯=∑n=0∞f(n)(x0)(x−x0)nn!f(x) = f(x _ 0) + f ^ {(1)} (x _ 0) (x - x _ 0) + \frac{f ^ {(2)} (x _ 0)(x - x _0) ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !}f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x−x0)+2!f(2)(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+⋯=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
5.2 麦克劳林级数
当泰勒级数取 x0=0x _ 0 = 0x0=0时，称级数为麦克劳林级数：
f(x)=f(0)+f(1)(0)x+f(2)(0)x22!+⋯+f(n)(0)xnn!+⋯=∑n=0∞f(n)(0)xnn!f(x) = f(0) + f ^ {(1)} (0) x + \frac{f ^ {(2)} (0)x ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !}f(x)=f(0)+f(1)(0)x+2!f(2)(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+⋯=n=0∑∞n!f(n)(0)xn
5.3 泰勒收敛定理
设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 的某一邻域内具有各阶导数，则 f(x)f(x)f(x) 在该邻域内可展开为泰勒级数的充要条件是
limn→∞Rn(x)=0\lim _ {n \to \infty} R _ n (x) = 0n→∞limRn(x)=0
5.4 函数幂级数的唯一性
如果函数可展开为幂级数，则展开式是唯一的。
5.5 计算法
5.5.1 直接法
利用泰勒展开式成立的条件检验其是否存在
利用泰勒展开式直接写出函数的幂级数展开式
5.5.2 间接法
利用已知的幂级数展开式，通过幂级数的运算法计算
ex=∑n=0∞1n!xn,(−∞<x<+∞)e ^ x = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac{1}{n!} x ^ n,(- \infty < x < + \infty)ex=n=0∑∞n!1xn,(−∞<x<+∞)
sinx=∑k=0∞(−1)k(2k+1)!x2k+1,(−∞<x<+∞)\sin x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k + 1) !} x ^ {2k + 1} ,(- \infty < x < + \infty)sinx=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1,(−∞<x<+∞)
11+x=∑n=0∞(−1)nxn,(−1<x<+1)\frac{1}{1+x} = \sum _ {n = 0} ^ \infty (-1) ^ n x ^ {n}, (- 1 < x < + 1)1+x1=n=0∑∞(−1)nxn,(−1<x<+1)
ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1nxn,(−1<x≤+1)\ln (1 + x) = \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{(-1) ^ {n - 1}}{n} x ^ n , (- 1 < x \le + 1)ln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n−1xn,(−1<x≤+1)
cosx=∑k=0∞(−1)k(2k)!x2k,(−∞<x<+∞)\cos x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k) !} x ^ {2k} ,(- \infty < x < + \infty)cosx=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k,(−∞<x<+∞)
6 三角函数系的正交性
三角函数系
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x⋯cosnx,sinnx,⋯1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x \cdots \cos nx, \sin nx ,\cdots1,cosx,sinx,cos2x,sin2x⋯cosnx,sinnx,⋯
在区间[−π,π][-\pi, \pi][−π,π]上正交，就是指在三角函数系中任意两个不同的两个函数的乘积在 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π] 上的积分等于零，即满足
∫−ππsinmxsinnxdx={0,m≠nπ,m=n\int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \sin nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right. ∫−ππsinmxsinnxdx={0,m̸=nπ,m=n
∫−ππcosmxcosnxdx={0,m≠nπ,m=n\int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos mx \cos nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right. ∫−ππcosmxcosnxdx={0,m̸=nπ,m=n
∫−ππsinmxcosnxdx=0,∫−ππcosnxdx=∫−ππsinnxdx=0\int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \cos nx dx = 0, \int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos nx dx = \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin nx dx = 0∫−ππsinmxcosnxdx=0,∫−ππcosnxdx=∫−ππsinnxdx=0
其中m,nm, nm,n都是正整数。
7 傅里叶级数
7.1 描述
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos nx + b_n \sin nx )f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
其中
an=1π∫−ππf(x)cosnxdxa_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \cos nx dxan=π1∫−ππf(x)cosnxdx
bn=1π∫−ππf(x)sinnxdxb_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \sin nx dxbn=π1∫−ππf(x)sinnxdx
7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）
设 f(x)f(x)f(x) 是周期为 2π2\pi2π 的周期函数，如果它满足
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点
则 f(x)f(x)f(x) 的傅里叶级数收敛，并且
当 xxx 是 f(x)f(x)f(x) 的连续点时，级数收敛于f(x)f(x)f(x)
当 xxx 是 f(x)f(x)f(x) 的间断点时，级数收敛于12[f(x−)+f(x+)]\frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)]21[f(x−)+f(x+)]
7.3 周期延拓
将只在区间[−π,π][-\pi, \pi][−π,π]上有定义且满足收敛定理的条件，我们可以将其在定义域外补充它的定义，使它拓广成一个周期为2π2\pi2π的周期函数 φ(x)\varphi (x)φ(x)，然后就可以将φ(x)\varphi (x)φ(x)展开为傅里叶级数，最后将其限制在[−π,π][-\pi, \pi][−π,π]内，此时φ(x)≡f(x)\varphi (x) \equiv f(x)φ(x)≡f(x)
7.4 正弦级数和余弦级数
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
7.5 奇延拓与偶延拓
设函数f(x)f(x)f(x)定义在[0,π][0, \pi][0,π]上且满足收敛定理的条件
7.5.1 奇延拓
令
F(x)={f(x),0<x≤π0,x=0−f(−x),−π<x<0F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 < x \le \pi\\ & 0, & x = 0 \\ & - f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right. F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f(x),0,−f(−x),0<x≤πx=0−π<x<0
可以获得f(x)f(x)f(x)的正弦级数展开式
7.5.2 偶延拓
令
F(x)={f(x),0≤x≤πf(−x),−π<x<0F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 \le x \le \pi\\ & f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right. F(x)={f(x),f(−x),0≤x≤π−π<x<0
可以获得f(x)f(x)f(x)的余弦级数展开式
7.6 一般周期函数的傅里叶级数
设周期为2l2l2l的周期函数f(x)f(x)f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl)(x∈C)f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} ) (x \in C)f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)(x∈C)
其中
an=1l∫−llf(x)cosnπxldxa_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dxan=l1∫−llf(x)coslnπxdx
bn=1l∫−llf(x)sinnπxldxb_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dxbn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx
C={x∣f(x)=12[f(x−)+f(x+)]}C = \{ x | f(x) = \frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)] \}C={x∣f(x)=21[f(x−)+f(x+)]}
高等数学（下）无穷级数相关推荐
- 华工计算机高等数学b下作业,华工高等数学下作业
<华工高等数学下作业>由会员分享,可在线阅读,更多相关<华工高等数学下作业(4页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.2015-2016年度第一学期高等数学B(下)练习题201 ...
- 惠州学院java试卷_惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案
高等数学(下)期末试题参考答案 一.单项选择题(每题2分,总计10分). 1.),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的( ). A ...
- 【微积分/高等数学】无穷级数 之 和函数的快速求法（九阴真经）
本笔记资料中的方法是考研数学王谱老师的"九阴真经",对于求和函数的题可快速解决. 现将笔记分享出来,也方便自己翻阅笔记. 前言 此类题目的出题方式一般为给出无穷级数,要求写出和函数 ...
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习12.4
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习12.3
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习12.2
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习12.1
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习11.3
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习11.2
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习11.1
最新文章
- 猫脸关键点检测大赛：三种方法，轻松实现猫脸识别！
- android 微信登录点击没翻译,[android] 微信登录，没有唤起微信，直接返回ERR_AUTH_DENIED...
- PP团队圣经巨著《Application Architecture Guide2.0》24章-Web程式开发向导
- 使用LinkedList模拟一个堆栈或者队列数据结构
- 程序员怎样学习python_一个开发十年的程序员论：学习Python最正确的步骤（0基础必备）...
- 触目惊心，北邮计算机学院女神居然每天看这些公众号
- zookeeper分布式协调服务的使用一
- SQL注入从入门到精通
- 西威变频器avo下载调试资料_小白妙招 | G120/G120C 变频器模拟量断线速度保持
- python基础教程视频优酷_Python快速入门视频
- CAPM模型通俗透彻理解（资本资产定价模型）
- 小米浏览器禁用java_2019-03-11 小米散招面试-Java后台实习
- android手机操控及屏幕录制,手机操作视频记录 Android版屏幕录制
- Spring Init Destory
- 数据分析-----NumPy中的ndarray数组
- 雅可比矩阵：“Jacobian“矩阵
- 足球和oracle列（4）：巴西惨败于德国，认为，差额RAC拓扑控制！
- css矩形外发光,CSS3 实现发光边框特效
- 校园创业项目有哪些?
- Oracle版本区别及版本选择！