串联型PID，并联型PID与标准型PID简要说明
串联型PID，并联型PID与标准型PID简要说明1
PID广泛应用于工业生产各个环节，然而对于不同PID结构会有一些差异，导致在调参时若按照常规的经验调试，结果将会有非常大的不同。
串联型PID（Serial PID）
串联型PID的三个环节由比例，积分和微分项串级而成，结构简图如下：
其传递函数为：
G s e r i a l ( s ) = k ( 1 + 1 s τ i ) ( 1 + s τ d ) (1-1) G_{serial}(s) = k(1+\frac{1}{s\tau_{i}})(1+s\tau_{d}) \tag{1-1} Gserial(s)=k(1+sτi1)(1+sτd)(1-1)
若使用后向欧拉法将其离散化，即将：
s = 1 − z − 1 T s (1-2) s=\frac{1-z^{-1}}{T_s} \tag{1-2} s=Ts1−z−1(1-2)
带入式(1-1)中，可得到：
o u t ( m ) = o u t ( m − 1 ) + A e r r ( m ) + B e r r ( m − 1 ) + C e r r ( m − 2 ) (1-3) out(m)=out(m-1)+Aerr(m)+Berr(m-1)+Cerr(m-2) \tag{1-3} out(m)=out(m−1)+Aerr(m)+Berr(m−1)+Cerr(m−2)(1-3)
其中：
- o u t ( m ) out(m) out(m) —— 第m时刻控制器输出
- e r r ( m ) err(m) err(m) —— 第m时刻的误差
- T s T_s Ts —— 离散化控制周期
- A = k ( T s 2 + T s τ d + τ i τ d + τ i T s ) τ i T s A = \frac{k(T_s^2+T_s\tau_d+\tau_i\tau_d+\tau_iT_s)}{\tau_iT_s} A=τiTsk(Ts2+Tsτd+τiτd+τiTs)
- B = − k ( T s τ d + 2 τ i τ d + τ i T s ) τ i T s B = -\frac{k(T_s\tau_d+2\tau_i\tau_d+\tau_i T_s)}{\tau_iT_s} B=−τiTsk(Tsτd+2τiτd+τiTs)
- C = k τ d T s C = \frac{k\tau_d}{T_s} C=Tskτd
式(1-3)即为串联型PID的离散化增量式实现。利用递推的方法可得到绝对式实现如下：
o u t ( m ) = A ∑ n = 2 m e r r ( n ) + B ∑ n = 1 m − 1 e r r ( n ) + C ∑ n = 0 m − 2 e r r ( n ) (1-4) out(m)=A\sum_{n=2}^{m}{err(n)}+B\sum_{n=1}^{m-1}{err(n)}+C\sum_{n=0}^{m-2}{err(n)} \tag{1-4} out(m)=An=2∑merr(n)+Bn=1∑m−1err(n)+Cn=0∑m−2err(n)(1-4)
并联型PID（Parallel PID）
并联型PID的三个环节由比例，积分和微分项并联而成，其结构简图如下：
其传递函数为：
G p a r a l l e l ( s ) = k p + k i s + k d s (2-1) G_{parallel}(s) = k_{p} + \frac{k_{i}}{s} + k_{d}s \tag{2-1} Gparallel(s)=kp+ski+kds(2-1)
串联型与并联型二者的系数有所不同，其关系如下：
k p = k ( 1 + τ d τ i ) k i = k τ i k d = k τ d (2-2) k_{p} = k(1 + \frac{\tau_{d}}{\tau_{i}}) \\ k_{i} = \frac{k}{\tau_{i}} \\ k_{d} = k\tau_{d} \tag{2-2} kp=k(1+τiτd)ki=τikkd=kτd(2-2)
使用后向欧拉离散化，可得到并联型PID的离散化增量式实现如下：
o u t ( m ) = o u t ( m − 1 ) + k p ( e r r ( m ) − e r r ( m − 1 ) ) + k i T s e r r ( m ) + k d T s ( e r r ( m ) − 2 e r r ( m − 1 ) + e r r ( m − 2 ) ) (2-3) out(m)=out(m-1)+k_p(err(m)-err(m-1))+k_iT_s err(m)+\frac{k_d}{T_s}(err(m)-2err(m-1)+err(m-2)) \tag{2-3} out(m)=out(m−1)+kp(err(m)−err(m−1))+kiTserr(m)+Tskd(err(m)−2err(m−1)+err(m−2))(2-3)
若使用Tustin方式离散化，即将：
s = 2 T s z − 1 z + 1 (2-4) s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1} \tag{2-4} s=Ts2z+1z−1(2-4)
带入式(2-1)中，并将 k d k_d kd置为0，可得到：
o u t ( m ) = o u t ( m − 1 ) + ( k p + T s k i 2 ) e r r ( m ) + ( T s k i 2 − k p ) e r r ( m − 1 ) (2-5) out(m)=out(m-1)+(k_p+\frac{T_sk_i}{2})err(m)+(\frac{T_sk_i}{2}-k_p)err(m-1) \tag{2-5} out(m)=out(m−1)+(kp+2Tski)err(m)+(2Tski−kp)err(m−1)(2-5)
此即为并联型PI的离散化增量式实现。同样利用递推的方法可以得到绝对式实现如下：
o u t ( m ) = k p e r r ( m ) + k i T s ∑ n = 1 m e r r ( n ) + k d T s ( e r r ( m ) − e r r ( m − 1 ) ) (2-6) out(m)=k_perr(m)+k_iT_s\sum_{n=1}^{m}{err(n)}+\frac{k_d}{T_s}(err(m)-err(m-1)) \tag{2-6} out(m)=kperr(m)+kiTsn=1∑merr(n)+Tskd(err(m)−err(m−1))(2-6)
标准型PID（Standard or mixed or Ideal PID）
标准型PID与上述二者都不同，其结构简图如下：
其传递函数为：
G s t a n d a r d ( s ) = K p ( 1 + 1 s T i + s T d ) (3-1) G_{standard}(s) = K_{p}(1 + \frac{1}{sT_{i}} + sT_{d}) \tag{3-1} Gstandard(s)=Kp(1+sTi1+sTd)(3-1)
此时有：
K p = k ( 1 + τ d τ i ) T i = τ i + τ d T d = τ d τ i τ d + τ i (3-2) K_{p} = k(1 + \frac{\tau_{d}}{\tau_{i}}) \\ T_{i} = \tau_{i} + \tau_{d} \\ T_{d} = \frac{\tau_{d}\tau_{i}}{\tau_{d} + \tau_{i}} \tag{3-2} Kp=k(1+τiτd)Ti=τi+τdTd=τd+τiτdτi(3-2)
使用后向欧拉离散化方法，可得到标准型PID的离散化增量式实现：
o u t ( m ) = o u t ( m − 1 ) + K p ( e r r ( m ) − e r r ( m − 1 ) ) + K p T i T s e r r ( m ) + K p T d T s ( e r r ( m ) − 2 e r r ( m − 1 ) + e r r ( m − 2 ) ) (3-3) out(m)=out(m-1)+K_p(err(m)-err(m-1))+\frac{K_p}{T_i}T_s err(m)+\frac{K_pT_d}{T_s}(err(m)-2err(m-1)+err(m-2)) \tag{3-3} out(m)=out(m−1)+Kp(err(m)−err(m−1))+TiKpTserr(m)+TsKpTd(err(m)−2err(m−1)+err(m−2))(3-3)
若使用Tustin方式离散化，并将 K d K_d Kd置0，则得到标准型PI的离散化增量式实现：
o u t ( m ) = o u t ( m − 1 ) + ( K p + K p T s 2 T i ) e r r ( m ) + ( K p T s 2 T i − K p ) e r r ( m − 1 ) (3-4) out(m)=out(m-1)+(K_p+\frac{K_pT_s}{2T_i})err(m)+(\frac{K_pT_s}{2T_i}-K_p)err(m-1) \tag{3-4} out(m)=out(m−1)+(Kp+2TiKpTs)err(m)+(2TiKpTs−Kp)err(m−1)(3-4)
式(3-4)即为TI的快速电流环(FCL)中速度优化型PI控制器实现原理。值得注意的是，FCL中的各变量均为标幺值，因此实际实现需要稍作转换，即：
K p 标 幺 = K p ∗ I b a s e V b a s e K i 标 幺 = K i (3-5) K_{p标幺}=K_p*\frac{I_{base}}{V_{base}} \\ K_{i标幺}=K_i \tag{3-5} Kp标幺=Kp∗VbaseIbaseKi标幺=Ki(3-5)
其中：
- V b a s e V_{base} Vbase —— 电压标幺基值
- I b a s e I_{base} Ibase —— 电流标幺基值
最后，使用同样的递推法，可以得到绝对式实现：
o u t ( m ) = K p e r r ( m ) + K p T i T s ∑ n = 1 m e r r ( n ) + K p T d T s ( e r r ( m ) − e r r ( m − 1 ) ) (3-6) out(m)=K_p err(m) + \frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+\frac{K_pT_d}{T_s}(err(m)-err(m-1)) \tag{3-6} out(m)=Kperr(m)+TiKpTsn=1∑merr(n)+TsKpTd(err(m)−err(m−1))(3-6)
三者区别
三者最重要的区别在于不同结构的参数对于控制器行为影响的不同。并联型PID实现了比例项，积分项和微分项的完全解耦，调节其中的 k p , k i k_{p},k_{i} kp,ki与 k d k_{d} kd即可独立的作用在比例，积分和微分项上；而标准形式的 K p K_{p} Kp将同时影响比例，积分和微分三项行为。串联型类似。工业应用中，标准形式和并联形式的PID应用的最为广泛，且Simulink中也可以看到，PID的形式选择分为Parallel及Ideal（即Standard）：
值得注意的是比例项和积分项都与前文相同，而微分项，MATLAB中用 D ∗ N ∗ s / ( s + N ) D*N*s/(s+N) D∗N∗s/(s+N)代替了纯微分项 D s Ds Ds。将其化简可以得到：
D s ∗ 1 1 N s + 1 (4-1) Ds*\frac{1}{\frac{1}{N}s+1} \tag{4-1} Ds∗N1s+11(4-1)
前面 D s Ds Ds为正常的微分项，后面则乘上了一个一阶低通滤波器，而 N N N即为低通截止频率，对于Ideal类型的控制器，此即为改进型标准PID。该部分的离散化与标准型PID描述相同，唯一的差别在于微分项需要经过一次滤波处理。此处给出绝对式的两种实现（改进型并联PID同理），实现一（先滤波，后微分）：
o u t ( m ) = K p e r r ( m ) + K p T i T s ∑ n = 1 m e r r ( n ) + K p T d T s ( f i l t e r e r r ( m ) − f i l t e r e r r ( m − 1 ) ) (4-2) out(m)=K_perr(m)+\frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+\frac{K_pT_d}{T_s}(filter_{err}(m)-filter_{err}(m-1)) \tag{4-2} out(m)=Kperr(m)+TiKpTsn=1∑merr(n)+TsKpTd(filtererr(m)−filtererr(m−1))(4-2)
其中：- f i l t e r e r r ( m ) = K 1 ∗ e r r ( m ) + K 2 ∗ f i l t e r e r r ( m − 1 ) filter_{err}(m)=K1*err(m)+K2*filter_{err}(m-1) filtererr(m)=K1∗err(m)+K2∗filtererr(m−1)
- K 1 = 2 π N T s 1 + 2 π N T s K1=\frac{2\pi NT_s}{1+2\pi NT_s} K1=1+2πNTs2πNTs
- K 2 = 1 1 + 2 π N T s K2=\frac{1}{1+2\pi NT_s} K2=1+2πNTs1
实现二（先微分，后滤波）：
o u t ( m ) = K p e r r ( m ) + K p T i T s ∑ n = 1 m e r r ( n ) + U d ( m ) (4-3) out(m)=K_p err(m)+\frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+U_d(m) \tag{4-3} out(m)=Kperr(m)+TiKpTsn=1∑merr(n)+Ud(m)(4-3)
其中：- U d ( m ) = K 1 ∗ [ K p T d T s ( e r r ( m ) − e r r ( m − 1 ) ) ] + K 2 ∗ U d ( m − 1 ) U_d(m)=K1*[\frac{K_p T_d}{T_s}(err(m)-err(m-1))]+K2*U_d(m-1) Ud(m)=K1∗[TsKpTd(err(m)−err(m−1))]+K2∗Ud(m−1)
- K 1 = 2 π N T s 1 + 2 π N T s K1=\frac{2\pi NT_s}{1+2\pi NT_s} K1=1+2πNTs2πNTs
- K 2 = 1 1 + 2 π N T s K2=\frac{1}{1+2\pi NT_s} K2=1+2πNTs1
Note
- 无论是串联型，并联型还是标准型，在实现上都分为绝对式PID还是增量式PID。这与PID类型无关，只是实现手段不同。
参考资料
- [1] Serial or parallel PID, which structure to pick?
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