[ 数据结构-C实现 ] 堆、堆排序的分析及实现
目录
1.堆的概念结构及分类
1.2堆的分类
1.2.1 大堆
1.2.2 小堆
2. 堆的主要接口
3.堆的实现
3.1 堆的初始化 HeapInit
3.2 堆的销毁 HeapDestory
3.3 堆的打印 HeapPrint
3.4 堆的插入元素 HeapPush *
功能分析:
功能实现:
3.5 堆的删除元素 HeapPop *
功能分析:
功能实现:
3.6 判断是否为空 HeapEmpty
3.7 求元素个数
3.8 求堆顶元素
4.堆的应用:堆排序 ***
4.1 堆排序实现过程分析
4.2 堆排序实现代码
4.3 堆排序结果演示
5.堆(小堆)的完整代码
1.堆的概念结构及分类
以上这段概念描述看起来十分复杂,晦涩难懂。那么堆用通俗语言简单描述如下:
堆是一个完全二叉树的顺序存储。在一个堆中,堆的父节点一定大于等于(或小于等于)子节点。一旦有一部分不满足则不为堆。
堆的性质:
1、堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;2、堆总是一棵完全二叉树
1.2堆的分类
1.2.1 大堆
在一个堆中,父节点一定大于等于子节点的堆称为大堆。又称大根堆。
1.2.2 小堆
在一个堆中,父节点一定小于等于子节点的堆称为小堆。又称小根堆。(下图就是一个小堆)
习题练习:
1.下列关键字序列为堆的是:(A)
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
分析:选项A分析后为大堆,其他选项多多少少都存在错误。(画图分析如下)
2. 堆的主要接口
在本篇文章中我们主要以小堆为例实现。
现实中我们通常把堆使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
其中堆中包括以下主要功能:
1.堆的初始化 2.堆销毁 3.堆打印 4.堆的插入元素 5.堆删除元素 6.判断堆是否为空 7.求堆中元素的个数 8.求堆顶元素
详细接口如下:
//小堆
//算法逻辑思想是二叉树,物理上操作的是数组中数据
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a; //数组asize_t size; //下标size_t capacity; //容量
}HP;void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb);//交换函数
void HeapInit(HP* php);//堆初始化
void HeapDestory(HP* php);//堆销毁
void HeapPrint(HP* php);//堆打印//插入x以后,仍然要保证堆是(大/小)堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);//删除堆顶的数据(最大/最小)
void HeapPop(HP* php);bool HeapEmpty(HP* php); //判断是否为空
size_t HeapSize(HP* php);//求元素个数
HPDataType HeapTop(HP* php);//求堆顶元素
3.堆的实现
有了如上的接口,接下来我们实现各个接口。由于我们使用数组来实现堆,大多接口功能和顺序表的实现相同。相同的实现这里不再过多分析。
3.1 堆的初始化 HeapInit
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;}
3.2 堆的销毁 HeapDestory
void HeapDestory(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;}
3.3 堆的打印 HeapPrint
void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (size_t i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}
3.4 堆的插入元素 HeapPush *
堆的元素插入是堆的一大重点和难点。接下来我们对该功能进行分析和实现。
功能分析:
1、我们要向堆中插入元素,我们首先要判断数组是否空间已满,如果空间已满就要扩容。扩容后再将新元素插入数组尾部。此过程和顺序表相同。
2、由于插入新元素,我们要对该元素进行分析(此处以如下图小堆举例),分析插入元素是否会破坏堆结构,如果破坏了堆,我们就要对堆进行向上调整。
3、向上调整过程分析(过程步骤如下图):
a. 我们发现出入新元素10之后,10作为28(父节点)的子节点却比28小,这样就破坏了我们的堆结构,这样就不构成小堆。因此我们需要对该结构进行调整。
b.由于堆的物理结构是一个数组,所以我们可以通过数组下标的形式找到我们孩子节点的父节点。不难分析出parent = (child-1)/2.当我们找到父节点时,我们进行大小比较,如果子节点小于父节点,此时就要进行交换元素。再让子节点到父节点的位置,重新计算父节点。
c.持续循环比较,如果child等于0时,说明向上调整结束。因此循环的条件可写为child>0.
注:循环过程中一旦成堆,则跳出循环。
功能实现:
//交换函数
void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb)
{HPDataType tmp = *pa;*pa = *pb;*pb = tmp;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, size_t child)
{size_t parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//考虑是否扩容if (php->size == php->capacity){size_t newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){printf("realloc failed\n");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;++php->size;//需要向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
3.5 堆的删除元素 HeapPop *
删除堆是删除堆顶的数据思路:将堆顶的数据跟最后一个数据一换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调整算法。
功能分析:
我们要删除堆是删除堆顶的数据,我们不能直接删除堆顶的数据。如果直接删除堆顶的数据,就会破坏堆结构,并且复原的复杂度较高。在这里我们介绍一种方法不仅解决了删除堆的问题,并且复杂度较低。
1、首先我们要将堆顶的数据跟最后一个数据交换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调整算法。
2、向下调整算法具体步骤(过程步骤如下图):
a.我们将堆顶元素和数组最后一个元素交换后,此时堆顶的元素是数组的最后一个元素,我们要进行向下调整。定义parent为堆顶元素,查找2个子节点中较小的一个节点作为孩子节点。由于堆是数组结构实现,我们可以首先找到左孩子节点child = 2*parent+1。让左孩子和右孩子进行比较,较小的作为child的最后值。
b.如果孩子小于父亲,则交换,并继续往下调整。让parent到child的位置,再重新计算孩子。
c.当孩子大于等于元素总个数时,循环结束。因此循环的条件可以写为child<size.
注:循环过程中一旦成堆,则跳出循环。
功能实现:
void AdjustDown(HPDataType* a, size_t size, size_t root)
{size_t parent = root;size_t child = parent * 2 + 1;//先拿到左孩子while (child < size){// 1、选出左右孩子中小的那个if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]){++child;}// 2、如果孩子小于父亲,则交换,并继续往下调整if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);--php->size;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
3.6 判断是否为空 HeapEmpty
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
3.7 求元素个数
size_t HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}
3.8 求堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}
4.堆的应用:堆排序 ***
堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:1. 建堆升序:建大堆降序:建小堆2. 利用堆删除思想来进行排序建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序。
假设此时我们需要对数组元素进行升序排序,我们就可以使用我们刚刚实现的小堆。
4.1 堆排序实现过程分析
1、首先我们将数组的元素插入到堆中,根据向上调整,此时堆已经是小堆。
2、根据小堆的性质,堆顶的元素一定是该堆中最小的元素,因此我们取到堆顶的元素,再删除堆顶的元素让堆重新生成小堆。依次循环即可解决升序排序(降序排序只需将小堆改为大堆即可)。
4.2 堆排序实现代码
//堆排序
void HeapSort(int* a, int size)
{HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < size; ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}size_t j = 0;while (!HeapEmpty(&hp)){a[j] = HeapTop(&hp);j++;HeapPop(&hp);}HeapDestory(&hp);
}
int main()
{// TestHeap();int a[] = { 4,2,1,3,5,7,9,8,6};HeapSort(a,sizeof(a)/sizeof(int));for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); ++i){printf("%d ", a[i]);}return 0;
}
4.3 堆排序结果演示
5.堆(小堆)的完整代码
2022_03_30 -- 堆/2022_03_30 -- 二叉树 · 李兴宇/数据结构 - 码云 - 开源中国 (gitee.com)
(本篇完)
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