数电笔记总结(二)(逻辑代数基础)
目录
- 基本逻辑运算
- 1.“与”运算(逻辑乘)
- 2.“或”运算(逻辑加)
- 3.“非”运算(逻辑非)
- 几种常用复合逻辑运算
- 逻辑代数的基本公式和规则
- 逻辑函数的表示方法
- 逻辑函数的基本公式
- 1.基本运算
- 2.与普通代数相类似的公式
- 3.逻辑代数的特有公式
- 4.四种常用的运算
- 5.逻辑代数公式的证明
- 逻辑函数的基本规则
- 1.反演规则
- 2.对偶规则
- 3.代入规则
- 逻辑函数的化简
- 1.代数化简法(公式法)
- 2.卡诺图化简法
基本逻辑运算
1.“与”运算(逻辑乘)
表达式:
真值表:
逻辑图形符号:
2.“或”运算(逻辑加)
表达式:
真值表:
逻辑图形符号:
3.“非”运算(逻辑非)
表达式:
真值表:
逻辑图形符号:
几种常用复合逻辑运算
逻辑代数的基本公式和规则
逻辑函数的表示方法
例如表达式为
1.真值表法
2.逻辑图法
逻辑函数的基本公式
1.基本运算
数值与数值的关系
数值与变量的关系(0-1律)
与 或
变量与变量的关系(重叠律)
与 或 非
2.与普通代数相类似的公式
交换律
A+B=B+A
结合律
A+(B+C)=(A+B)+C
分配律
A(B+C)=AB+AC, A+BC=(A+B)(A+C)
因为:(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC
3.逻辑代数的特有公式
4.四种常用的运算
(1)异或
变量相异为1,反之为0
(2)同或
变量相同为1,反之为0
重要公式
5.逻辑代数公式的证明
1.真值表法:检查等式两边函数的真值表是否相等
2.代数法:用已证明的公式(特别是逻辑函数的基本运算)、定理来推导
逻辑函数的基本规则
1.反演规则
如果将逻辑函数F中所有的“ * ”变成“+”; “+”变成“ * ”; “0”变成“1”; “1”变成 “0”; 原变量变成反变量;反变量变成原变量; 所得到的新函数是原函数的反函数。
如:
反演后为:
注意:
(1)保持原函数的运算顺序(先括号,再与,再或)
(2)不属于单个变量的反号保持不变(长非号)
2.对偶规则
如果将逻辑函数F中所有的“ * ”变成“+”; “+”变成“ * ”;“0”变成“1”; “1”变成“0”; 则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F’。(即与比反演规则少了变量变化)
如:
3.代入规则
任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F ,则等式仍然成立。
例如:给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC,若用A+BC代替A,则该等式仍然成立
即: (A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C
逻辑函数的化简
按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系,可分5种一般形式。 函数表达式一般化简成**与或式,**条件为:
1.表达式中与项最少
2. 在满足1)的前提下, 每个"与项"中的变量个数最少
例如:
化简方法
1.代数化简法(公式法)
基本公式中的A和B可以是任何复杂的逻辑式
(1)并项法
利用公式
例如:
(2)吸收法
利用公式A+AB=A
例如:
(3)消去法
消去A非
利用公式
例如:
(4)配项法
利用公式A+A=A
例如:
此外还可以利用公式A+A非=1来化简其他式子
化简比较复杂的式子时,先使用分配律,再用公式化简
2.卡诺图化简法
最小项的编号
最小项的表达式记为
写出最小项表达式的方法
(1)一般表达式化简(比较复杂不推荐)
(2)直接写出(看最小项缺哪个变量,根据变量的两种可能直接写出)
(3)用真值表求(推荐)
最小项的卡诺图
将n个输入变量的2 n个最小项各用一个 小方块表示,把它们排成矩阵,并且保证相 邻的最小项只有一个变量不同,所得到的 阵列图就是n变量的卡诺图。
二变量卡诺图
A和B上下位置可换
三变量卡诺图
两个或以上变量,按格雷码规则排列 ↓
四变量卡诺图
** 用卡诺图表示逻辑函数 **
将函数化成最小项之和的形式,在卡诺图中将与这些最小项对应的位置填入”1” ,其余位置填入”0”。
真值表、表达式、逻辑图、波形图、卡诺图 都可以表达一个逻辑函数。
方法:真值表法、表达式法
真值表法
表达式法
卡诺图化简
化简步骤:
(1)根据表达式或真值表填写卡诺图
(2)对相邻项方格画卡诺圈
(3)将每个圈消去互补变量合并为一项,这些项相加即为化简结果
例如:
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