矩阵分析与应用(19)
学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社
奇异值分解
一、奇异值分解及其解释
1. 定理（矩阵的奇异值分解）
令 （或
），则存在正交矩阵（或酉矩阵）
（或
）和
（或
）使得
（或
）
式中
且 ，其余对角元素按照顺序
排列。
2. 定义
若 ，则矩阵
的奇异值
称为单奇异值。
3. 奇异值和奇异值分解的解释
1） 矩阵
为酉矩阵，在式
两边右乘
，得到
，其列向量形式为
因此， 的列向量
称为矩阵
的右奇异向量，
称为
的右奇异向量矩阵。
2） 矩阵
是酉矩阵，在式
两边左乘
，得到
，其列向量形式为
因此， 的列向量
称为矩阵
的左奇异向量，并称
为
的左奇异向量矩阵。
3）矩阵 的奇异值分解式
可以改写为向量表达式：
这种表达式称为 的并向量（奇异值）分解。
4）由式 可得
这表明， 矩阵
的奇异值
是矩阵乘积
的特征值的正平方根。
5）当矩阵 的秩
时，由于奇异值
，因此奇异值分解公式可以简化为
式中，
式 被称为矩阵
的截尾奇异值分解或薄奇异值分解。与之相对地，式
称为全奇异值分解。
6）若矩阵 具有秩
，则
① 酉矩阵
的前
列组成矩阵
的列空间的标准正交基。
② 酉矩阵
的前
列组成矩阵
的行空间（或
的列空间）的标准正交基。
③ 的后
列组成矩阵
的零空间的标准正交基。
④ 的后
列组成矩阵
的零空间的标准正交基。
3. 奇异值的内在含义
当原 矩阵
有一个零奇异值时，该矩阵的秩
，即原矩阵
本来就不是满秩的。因此，如果一个正方矩阵具有零奇异值，则该矩阵必定是奇异矩阵。
一个正方矩阵只要有一个奇异值接近零，那么这个矩阵就接近于奇异矩阵。推而广之，一个非正方的矩阵如果有奇异值为零，则说明这个长方矩阵一定不是列满秩的或者行满秩的。这种情况称为矩阵的秩亏缺，它相对于矩阵的满秩是一种奇异现象。
无论是正方还是长方矩阵，零奇异值都刻画矩阵的奇异性，这就是矩阵奇异值的内在含义。
二、奇异值的性质
1. 矩阵变形与奇异值的关系
令矩阵 和
均为
矩阵，且
。
设矩阵 的奇异值排列为
并且用 表示矩阵
的第
个大奇异值。则矩阵的各种变形与奇异值有以下关系：
1） 矩阵
的共轭转置
的奇异值分解为
即矩阵 和
具有完全相同的奇异值。
2） 和
分别为
和
酉矩阵时，
的奇异值分解为
其中， 。也就是说，矩阵
与
具有相同的奇异值，即奇异值具有酉不变性，但奇异向量不同。
3） 的奇异值分解分别为
其中
4） 矩阵
的奇异值分解与
维 Moose-Penrose 广义逆矩阵
之间存在以下关系：
其中， 。
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