2022高考全国新一卷最后一个大题解答

2024-07-01 02:05:21

已知，,有相同的最小值。

（1）求a的值

（2）证明：存在直线y=b，与f(x)、g(x)有三个不同的交点，且这三个交点的横坐标是一个等差数列。

解：

（1）

，,

,，

① 不可导。且，不满足中定义域要求

② ，，，在上单调递增，为最小值，上单调递减，,当时,与最小值不相同。

,,

所以图像如下图：

,

所以图像如下图：

是唯一零点。

(2)

由（1）得，

,

,,所以先递减再递增

,,所以先递减再递增。

;

;

两函数图如下图示意：

所以，与在有一个交点。因此有一条直线经过此交点，与、有三个不同的交点。

接下来证明这三个交点的横坐标成等差数列。

假设差为，由图可知：

即证

,,,。

又

由

可得：

即证等式左右被减数和减数均相等，即

又由：

即证

又因为

令，由上面的分析可知，,

又因为，，在上单调递减。

所以只有当时，

所以，即。

所以三个交点为等差数列得证。

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