UA MATH564 概率论依概率收敛的题目

2024-05-13 11:41:40

UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题

X1,X2,⋯,Xn∼iida+EXP(λ)X_1,X_2,\cdots,X_n \sim_{iid} a+EXP(\lambda)X1,X2,⋯,Xn∼iida+EXP(λ), Yn=min⁡(X1,⋯,Xn)Y_n = \min(X_1,\cdots,X_n)Yn=min(X1,⋯,Xn). Prove Yn→pcY_n \to_p cYn→pc and find c.

Answer.
Density of XiX_iXi is
fX(x)=λe−λ(x−a),x≥af_X(x) = \lambda e^{-\lambda(x-a)},x\ge afX(x)=λe−λ(x−a),x≥a

and CDF of XiX_iXi is
FX(x)=∫axλe−λ(s−a)ds=1−e−λ(x−a),x≥aF_X(x) = \int_a^x \lambda e^{-\lambda(s-a)}ds = 1-e^{-\lambda(x-a)},x\ge aFX(x)=∫axλe−λ(s−a)ds=1−e−λ(x−a),x≥a

For Yn=min⁡(X1,⋯,Xn)Y_n = \min(X_1,\cdots,X_n)Yn=min(X1,⋯,Xn),
FYn(y)=P(Yn≤y)=P(min⁡(X1,⋯,Xn)≤y)=1−P(min⁡(X1,⋯,Xn)>y)=1−[P(Xi>y)]n=1−[1−FX(y)]n=1−e−nλ(y−a),y≥aF_{Y_n}(y) = P(Y_n \le y) = P( \min(X_1,\cdots,X_n) \le y ) = 1 - P(\min(X_1,\cdots,X_n)>y) \\ = 1 - [P(X_i>y)]^n = 1 - [1-F_X(y)]^n = 1 - e^{-n\lambda(y-a)},y\ge aFYn(y)=P(Yn≤y)=P(min(X1,⋯,Xn)≤y)=1−P(min(X1,⋯,Xn)>y)=1−[P(Xi>y)]n=1−[1−FX(y)]n=1−e−nλ(y−a),y≥a

This means Yn∼a+EXP(nλ)Y_n \sim a + EXP(n\lambda)Yn∼a+EXP(nλ),
EYn=a+1nλ→a,asn→∞Var(Yn)=1n2λ2→0,asn→∞EY_n = a + \frac{1}{n\lambda} \to a,\ as\ n\to\infty\\ \ Var(Y_n) = \frac{1}{n^2\lambda^2}\to 0,\ as\ n\to\inftyEYn=a+nλ1→a, as n→∞ Var(Yn)=n2λ21→0, as n→∞

So Yn→L2a⇒Yn→paY_n \to_{L_2}a \Rightarrow Y_n \to_p aYn→L2a⇒Yn→pa.

UA MATH564 概率论依概率收敛的题目相关推荐

UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题
UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题 Part (a) Let Yn∼U(−1/n,1/n)Y_n \sim U(-1/n,1/n)Yn∼U(−1/n,1/n), Zn∼U(n,n+1 ...
UA MATH564 概率论 QE练习 Glivenko–Cantelli定理
UA MATH564 概率论 QE练习 Glivenko–Cantelli定理 Glivenko–Cantelli定理 Part a Notice P(Xi≤t)=F(t),i=1,⋯,nP(X_i ...
UA MATH564 概率论 QE练习题信封问题
UA MATH564 概率论 QE练习题信封问题 2015年1月的第二题 2015年5月的第一题这一篇介绍QE理论中出现了两个信封问题相关的题目:2015年1月的第二题和2015年5月的第一题.信 ...
UA MATH564 概率论 QE练习题概率极限理论
UA MATH564 概率论 QE练习题概率极限理论 2015/5/3 2016/1/3 这是2015年5月的3题.2016年1月的3题 2015/5/3 这个题干有点意思,有一列随机变量但并不是互 ...
UA MATH564 概率论I 求离散型随机变量的分布1
UA MATH564 概率论I 求离散型随机变量的分布1 题目解答对于离散型随机变量 XXX,记它的概率分布列为 P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯P(X = x_i) = p_i,i=1,2, ...
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1 题目次序统计量常用公式答案题目例1 X1,⋯,Xn∼iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\thet ...
UA MATH564 概率论V 中心极限定理
UA MATH564 概率论V 中心极限定理随机变量序列的极限收敛模式之间的关系大数法则中心极限定理 Classical Central Limit Theorem Sugden法则 Delt ...
UA MATH564 概率论多元随机变量的变换理论与应用2
UA MATH564 概率论多元随机变量的变换几个例题例5 X1,X2,X3∼iidEXP(λ)X_1,X_2,X_3 \sim_{iid} EXP(\lambda)X1,X2,X3∼ii ...
UA MATH564 概率论样本均值的偏度与峰度
UA MATH564 概率论样本均值的偏度与峰度偏度峰度假设X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1,⋯,Xn是一组简单随机样本,Xˉ\bar{X}Xˉ是样本均值,总体均值为μ\mu ...

最新文章

热门文章