离散数学5_第1章之2 命题公式的等值演算

2024-05-22 11:16:15

在写本文之前，先回顾下在离散数学1 ____ 复合命题与联结词一文提到的联结词，共有5种：

否定，合取，析取，条件，双条件。

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以下讲解等价，重言式(永真式)，矛盾式(永假式)，可满足式。

1. 等价:

定义1.9 给定两个命题公式A和B, 设 P₁, P₂, ... Pᵢ 为所有出现于A和B中的原子变元，若给P₁, P₂, ... Pᵢ 任一组真值指派， A和B的真值都相同，称A和B是等值的或等价的，记为A<=>B,

若至少存在一组真值指派，使得A与B的真值不相同，称A和B不等值或不等价，记为A <≠>B.

<=> 和 <≠>都不是联结词。

由等价的定义可知，┐P∨Q <=>P→Q.

2. 重言式：

设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称公式A为重言式或永真式。重言式常记为T.

3. 矛盾式：

设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称公式A为矛盾式或永假式。矛盾式常记为F.

4. 可满足式:

设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A是可满足式。若可满足式A至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式。

从以上定义可得出以下结论：

（1）合式公式P 是可满足式，等价于P至少存在一个成真赋值；

（2）重言式一定是可满足式，但反之则不一定；

（3）若两个命题公式P和Q等价，则P ↔ Q是重言式。

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