矩阵的秩

矩阵A与B的和与差

矩阵的数乘

矩阵A与B的乘积

转置矩阵

伴随矩阵

可逆矩阵：

简化行阶梯（行最简）矩阵

矩阵A的n次方

矩阵的秩

先看一下矩阵的秩的定义，摘自百度百科。

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank（A）。

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

即存在r阶子式不为0，任意r+1阶子式（若还有）必全为0。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

MATLAB求解矩阵的秩：

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]A =1     2     34     5     67     8     9>> rank(A)ans =2

矩阵A与B的和与差

相加和相减。相同维数的矩阵可以相加或相减。对如下矩阵:

>>     A=[2 3;4 5;6 7]A =2     34     56     7>> B = [1 0;2 3;0 4]B =1     02     30     4>> A+Bans =3     36     86    11>> A-Bans =1     32     26     3

矩阵的数乘

>> A=[2   3;4 5;6 7]A =2     34     56     7>> 5*Aans =10    1520    2530    35

矩阵A与B的乘积

进行矩阵的乘积运算，第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数必须相等。

注意：矩阵相乘不满足交换定理。

>> A=[2   3;4 5;6 7];
>> B=[1 0 2;3 0 4];
>> A*Bans =11     0    1619     0    2827     0    40

如果第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数不相等相等，那么矩阵A与B相乘会报错。

>> A=[2 3;4 5;6 7];
>> B = [1 0;2 3;0 4];
>> A*B
错误使用 *
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数匹配。要执行按元素相乘，请使用 '.*'。

MATLAB给出点乘的提示。矩阵的点乘满足交换律。

矩阵的点乘则必须满足：矩阵A点.*矩阵B，矩阵A和矩阵B的行数和列数必须相等（就是说矩阵A的行数等于矩阵B的行数，矩阵A的列数等于矩阵B的列数），方法是对应每个元素相乘，相乘得到的最终结果为和矩阵A和矩阵B相同维度的矩阵。

>> A=[2   3;4 5;6 7];
>> B = [1 0;2 3;0 4];
>> A.*B  %即2=2*1,0=3*0,8=4*2ans =  2     08    150    28

叉乘和点乘是两种不同的运算。

点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。

叉乘，也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。

(4 条消息) 点乘和叉乘的区别是什么？ - 知乎 (zhihu.com)(4 条消息) 点乘和叉乘的区别是什么？ - 知乎 (zhihu.com)

转置矩阵

A =1     2     34     5     67     8     9>> B=A'B =1     4     72     5     83     6     9

伴随矩阵

运用adjoint()函数，意为伴随。

 A=[1 2;3 4]A =1     23     4>> adjoint(A)ans =4.0000   -2.0000-3.0000    1.0000>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]A =1     2     34     5     67     8     9>> adjoint(A)ans =-3.0000    6.0000   -3.00006.0000  -12.0000    6.0000-3.0000    6.0000   -3.0000

对于可逆矩阵或非奇异矩阵，可采用下面这种方法：

>> A=[1 3;1 2];
>> inv(A)*det(A)ans =2    -3-1     1

可逆矩阵：

根据线性代数矩阵的一些重要性质：

那么可逆矩阵指的都是n阶方阵且行列式不等于0

>> A=[1 3;1 2];
>> inv(A)ans =-2     31    -1>> A*ansans =1     00     1

或者采用这种方法：

>> A=[1 3;1 2]A =1     31     2>> A^-1ans =-2     31    -1

某些情况下会出现行列式为零，竟然可以求解逆矩阵？的情况，原因一般是inv()函数算法精度不够的问题；亦或者是行列式结果看起来为零未必真为零，可能只是很小的数值，比如在command window里默认只显示了几位小数，看起来结果是0.0000（MATLAB默认显示四位小数），但实际上并不一定为0。

inv是数值计算，会受到精度影响，尤其是比较大的矩阵
另外，matlab更推荐使用左除和右除来避免使用inv函数

>> a = [1,2;3 4];
b = [3,4;5,6];
>> a*inv(b)ans =2.0000   -1.00001.0000    0.0000>> a/b  %实际工程应用中一般选择这种方式，运算结果更加准确ans =2.0000   -1.00001.0000   -0.0000

简化行阶梯（行最简）矩阵

A =1     2     34     5     67     8     9>> B=rref(A)B =1     0    -10     1     20     0     0

对于非方阵也可以用rref()命令简化行阶梯矩阵；

>> A = magic(3);
A(:,4) = [1; 1; 1]A =8     1     6     13     5     7     14     9     2     1>> R = rref(A)R =1.0000         0         0    0.06670    1.0000         0    0.06670         0    1.0000    0.0667

矩阵A的n次方

>> A=[0 0 0;2 0 0;1 3 0]A =0     0     02     0     01     3     0>> A^2ans =0     0     00     0     06     0     0>> A^3ans =0     0     00     0     00     0     0

我是小韩每天进步一点点，一名研0的研究生，刚开始写博客。希望和大家多多交流，一起进步！

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