AcWing 1351. 密码锁（枚举，容斥原理）

【题目描述】
农夫约翰的奶牛们总是偷偷的逃出他的农场，去外面为非作歹。
农夫约翰为了防止它们私自逃离农场，购买了一个密码锁，以此阻止奶牛们打开农场大门。
约翰知道他的奶牛们都非常聪明，因此他想要确保它们不能通过简单的尝试一些密码组合，就轻易的将锁打开。
锁具上有三个密码拨盘，每个拨盘上的数字为1∼N1\sim N1∼N，其中111和NNN相邻（因为拨盘是圆形的）。
一共有两种可以打开密码锁的数字组合，一组是约翰设置的密码组合，一组是制造商设置的密码组合。
这种锁具有一定的容错性，只要三个表盘上的数字与任意一组正确密码组合的对应位置数字相距两个位置以内，锁均会打开。
例如，假设约翰设置的密码组合是(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)，制造商设置的密码组合是(4,5,6)(4,5,6)(4,5,6)。
此时我们输入组合(1,3,5)(1,3,5)(1,3,5)就可以将锁打开，因为这与约翰设置的密码接近，输入组合(2,4,8)(2,4,8)(2,4,8)也可以将锁打开，因为这与制造商设置的密码接近。
但是，如果我们输入组合(1,5,6)(1,5,6)(1,5,6)就不能将锁打开，因为它和两个密码都不接近。
现在给定你两个设置好的密码，请你判断一共有多少种密码组合可以将锁打开。
注意，密码组合是有序的，因此(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)和(3,2,1)(3,2,1)(3,2,1)是两种不同的组合。

【输入格式】
第一行包含整数NNN。
第二行包含三个整数，表示约翰设置的密码组合。
第三行包含三个整数，表示制造商设置的密码组合。

【输出格式】
输出一个整数，表示可以打开锁的密码组合数量。

【数据范围】
1≤N≤1001≤N≤1001≤N≤100

【输入样例】

50
1 2 3
5 6 7

【输出样例】

【分析】

我们可以枚举所有密码组合，对于每种密码判断其是否满足与题中所给的任意密码接近，如果满足则答案加一，时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)，本题数据量很小，因此可以过。

有没有优化的做法呢？假设题中所给的两个密码组合分别为aaa和bbb，如果N≥5N\ge 5N≥5那么与aaa接近的密码组合有535^353种，同理与bbb接近的密码组合也有535^353种；如果N<5N<5N<5，那么与aaa或bbb接近的密码组合只有N3N^3N3种。设函数single()single()single()返回与某一个密码接近的密码数量，那么分别与a,ba,ba,b接近的密码组合一共有single()∗2single()*2single()∗2种。

我们还需要除去既和aaa接近同时也和bbb接近的密码，因为这类密码被算了两次。接下来我们对aia_iai与bib_ibi的位置关系进行分析：

当aia_iai与bib_ibi的距离为555时，在ai,bia_i,b_iai,bi之间无论取哪个数都无法做到和ai,bia_i,b_iai,bi的距离都小于等于222，因此重合的选择数量为000；
当aia_iai与bib_ibi的距离为444时，只有选中间的点满足到ai,bia_i,b_iai,bi的距离都小于等于222，因此重合的选择数量为111；
当aia_iai与bib_ibi的距离为333时，选ai,bia_i,b_iai,bi之间的两个点种的任意一个都满足要求，因此重合的选择数量为222；
当aia_iai与bib_ibi的距离为222时，重合的选择数量为333；
当aia_iai与bib_ibi的距离为111时，重合的选择数量为444；
当aia_iai与bib_ibi的距离为000时，重合的选择数量为555。

因此，当aia_iai与bib_ibi的距离为disdisdis时，重合的选择数量为max(0,5−dis)max(0,5-dis)max(0,5−dis)。

当aia_iai与bib_ibi的距离小于等于111时，假设该距离表示圆上的劣弧ai,bia_i,b_iai,bi，那么我们会发现重合的点不仅可以选在劣弧上，也可以选在优弧上，那么会不会重复计算呢？

当N≤5N\le 5N≤5时，无论选择哪个点都满足到aia_iai与bib_ibi的距离小于等于222，因此重合的密码一共有N3N^3N3种。当N>5N>5N>5时，我们讨论以下两种情况：

ai,bia_i,b_iai,bi的距离为000，那么另一半弧长为N−dis>5N-dis>5N−dis>5，由之前的分析可知在这段弧中满足重合条件的点数量为000，因此不会重复计算；
ai,bia_i,b_iai,bi的距离为111，那么另一半弧长为N−dis≥5N-dis\ge 5N−dis≥5，同理在这段弧中满足重合条件的点数量也为000，同样不会重复计算。

所以aia_iai与bib_ibi之间最多只会有一段弧被计算，不会重复计算。

【O(n3)O(n^3)O(n3)代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 110;
int a[N], b[N];
int n, res;bool check(int x, int y, int z)
{int tmp[3] = { x, y, z };bool flag1 = true, flag2 = true;for (int i = 0; i < 3; i++){if (abs(tmp[i] - a[i]) > 2 && n - abs(tmp[i] - a[i]) > 2) flag1 = false;if (abs(tmp[i] - b[i]) > 2 && n - abs(tmp[i] - b[i]) > 2) flag2 = false;}if (flag1 || flag2) return true;return false;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < 3; i++) cin >> a[i];for (int i = 0; i < 3; i++) cin >> b[i];for (int x = 1; x <= n; x++)for (int y = 1; y <= n; y++)for (int z = 1; z <= n; z++)if (check(x, y, z)) res++;cout << res << endl;return 0;
}

【O(1)O(1)O(1)代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 110;
int a[N], b[N];
int n;int single()
{int res = 1;for (int i = 0; i < 3; i++)res *= min(n, 5);return res;
}int repeat()
{if (n <= 5) return n * n * n;int res = 1;for (int i = 0; i < 3; i++){int dis = abs(a[i] - b[i]);res *= max(0, 5 - dis) + max(0, 5 - (n - dis));}return res;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < 3; i++) cin >> a[i];for (int i = 0; i < 3; i++) cin >> b[i];cout << single() * 2 - repeat() << endl;return 0;
}

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