怎么上传了，排版和Typora差这么多…头疼，就这样吧…

一 IEEE754浮点数标准学习

没想到本科不喜欢、瞎学的祭祖，现在还是得重新、认真地重学一遍。“不喜欢”果然无法成为拒绝学习的理由，丢书时有多“硬气”，苦读时就有多“卑微” (￣▽￣)"…

IEEE754这块以前看课本，没看懂“表达式”，考研时直接放弃。今天捋起袖子，把这定点数和浮点数好好看一遍吧。

本篇不是小白入门，适合看完书后还有疑惑的情况下，来过一遍。

个人颜色标注习惯：

红色——大重点；

蓝色——对我重要的个人思考；

洋红色——自我Q/A环节，问句专用.

1 前期疑惑解答

先解答个人在查找IEEE754格式时，最大的疑惑：各资料上对IEEE754的位数记录不太一致，是我哪里没理解对么？

IEEE754文档

没看懂。虽然记录了完整内容，但混在一起写的，关于下面表格的信息没有明显区分标注出来，直接拔线投降——不看了。
祭祖（计组）课本

为什么感觉和SPEC上不一样？例如：书本上说，单精度32位，双精度64位；但网上说是24位、53位…
- 懂了，其实是一样的，只是省略描述时的对象不同。
  
  细说：IEEE754文档及其他讨论的文章，在描述位数时，描述的是“尾数位的有效位数” —— ①是指尾数；②是包含、计入了规格化后省略了、未存储的那个隐含位“1”，因此在要多一位（23bit→24bit23\ bit \to 24\ bit23 bit→24 bit）。
网上的有效内容

挺好的一个表格，我先粗糙的扣下来：
- “有效位”表示——包含 “隐含位” （个位）的尾数的位数。
- float精度(SP, single-precision)： 24 bits 有效位数（仅指尾数位）——不含符号位、指数部分.
  - 为什么书上是23位?
    
    实际上只存储了23位，但算上隐含位，数据的有效位就是24位。看语境。
- double精度(DP, double-precision)： 53 bits 有效位数（仅指尾数位）——不含符号位、指数部分.
  - 为什么书上是52位?
    
    同上。
- double extended精度(EP, extended-precision 我编的)： 64 bits
  
  注意 EP精度是没有隐含位的，所以只有SP和DP的有效位是比尾数位数多1位的。

2 IEEE754 个人整理

2.1 基本概念

计算机里存数据，有两种存法：定点数 和 浮点数。

二者特点

定点格式表示的范围有限，但硬件要求简单；浮点格式表示的范围大，但硬件要求复杂。
定点格式，即把小数点给固定了

小数点固定的位置理论上可以自定义，但一般用来表示纯整数（认为小数部分为0，i.e. x∈Zx\in Zx∈Z）或纯小数（认为整数部分为0，i.e. x∈(−1,1)x\in (-1,1)x∈(−1,1)）.

所以，定点格式可以表示“定点整数”和“定点小数”。

默认定点数指纯整数，如C语言里的 int型.
浮点格式，说白了就是用科学计数法表示浮点数

将科学计数法的三个部分抠出来分别保存：符号位、尾数位、指数位。

这个尾数部分，就是科学技术法后的浮点数部分，计算机中用“定点小数”的形式来存。

如，十进制中的 52431.66，用科学计数法表示是 5.243166×1045.243166 \times 10^45.243166×104，则 5.2431665.2431665.243166 就是尾数部分，指数部分是 444；当然，你也可以表示成 52.43166×10352.43166 \times 10^352.43166×103，则 52.4316652.4316652.43166 就是尾数部分，指数部分是 333；（后文都默认用二进制进行叙述）

C语言里的double、float都是浮点格式。

下文再细说。
思考点

定点数里的“小数”概念和浮点数概念，我总觉得有点像，如何区分？

确实挺像的。

“小数” 概念指的是真值∣x∣<1|x|<1∣x∣<1的“数”，即只有小数点右边部分；

“定点小数” 概念指的是，用定点格式存“小数”；

“浮点数” 概念，是生活中的浮点数，如1.2325、5.1169等，既有小数点左边也有小数点右边，而在计算机中用“浮点格式”拆成三个部分（如上所说）进行存储，其中的尾数部分，采用了“定点小数”的格式进行存储。

总结，所以是套娃的概念——“浮点格式”包含了“定点数“的知识点。
什么是规格化？

见目录的【一 2.4】

2.2 IEEE754浮点基本格式

2.2.1 前言

浮点格式，“浮点”就体现在“小数点对存储数而言可以动态调整”。

IEEE格式中，规格化后的浮点数xxx的表示方式如下：

x=(−1)S×(1.M)×2E−127,e=E−常数cx=(-1)^S \times (1.M) \times 2^{E-127}, e=E-常数cx=(−1)S×(1.M)×2E−127,e=E−常数c

其中，SSS是符号、MMM是尾数（不存隐含位）、eee是指数、EEE是阶码（即偏移后的指数）、常数ccc叫指数偏移值；

在存储使用时，SSS用0∣10|10∣1表示、MMM用原码表示（不含隐含位）、EEE统一用移码表示（移码的表示规则很简单，表现出来和偏移的效果一样~）.

下文表格中，默认“指数”一词表示的是“指数位”的值，即 阶码EEE的值.

2.2.2 IEEE754格式与参数

这里罗列出我总结的IEEE浮点数格式的主要参数方便查阅：

SP就是float；DP就是double；EP是x86下的双精度扩展格式。

待会儿会再细说一下这个EP，我对其是知之甚少。

整理了两个表：

图[1] IEE754浮点数常用三个类型-位宽记录
图[2] IEE754浮点数常用三个类型-范围与常用参数

表格内有趣的一点是，表示非规格化数时，取的EEE值是 1−bias1-bias1−bias 而不是 0−bias0-bias0−bias，是为什么呢？

这是为了使非规格化数与规格化数表示的两个范围, 能平滑的过渡，以假设的8位浮点格式为例：

（来源于blog —— 详解浮点数的规格化表示 —— CSDN HelloAaric ）

如图所示，非规格化数的EEE选用 1−bias1-bias1−bias而不是0−bias0-bias0−bias可使得非规格化数与规格化数表示的范围能更加平滑！

2.2.3 细谈EP精度

EP是x86下的双精度扩展格式，它的格式和前面俩SP、DP有点不同——没有隐含位1，而是用显式的1来存。

在x86体系结构中，EP类型的值是连续存储在十个相连地址的 8 位字节中，其格式是这样的：

其取数范围见上图，已贴过。

2.3 IEEE754的特殊值、异常、以及舍入问题

2.3.1 特殊值

非数 NaN (Not a Number)

IEEE754的浮点数，会预留出几个表示形式，供系统用来作为signal而不是数——NaN.

触发条件：(!0)max(!0)^{max}(!0)max，符号位是被忽略的。
- 若尾数最高位为 0，则为SNAN (Signaling NAN)
- 若尾数最高位为 1，则为QNAN (Quiet NAN)，表示无效异常：如src是Inf或NaNs且VE=0.

2.3.2 异常

异常处理【处理过程略，可见西电的《浮点倒数方根》paper】
- 无效异常 (Invalid)
  
  src是NaN、平方根倒数中src是负数、∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞、00\frac{0}{0}00、∞⋅0\infty \cdot 0∞⋅0、∞−∞\infty-\infty∞−∞.
- 除零异常 (Division by Zero)
  
  !00\frac{!0}{0}0!0、平方根倒数中src是0.
- 上溢异常 (Overflow)
  
  中间结果的指数超出最大范围。
- 下溢异常 (Underflow)
  
  中间结果是一个"tiny"，若是使能信号为0，那么说明它还在传输中损失了精度！
- 不精确异常 (Inexact)
  
  可能①：舍入前后的中间结果，在精度和指数的值出现不同；（计算机二进制存储浮点数的常见情况~）
  
  可能②：上溢或下溢的使能为1，但结果的位数与中间结果的尾数不同；
  
  可能③：上溢的使能为0，但出现上溢的舍入结果。

2.3.3 舍入

中间结果与“无限精度、无限范围”的理解

IEEE754要求，在计算出结果之前，会先存储一个“无限精度、无限范围”的中间结果，经过舍入以后，才会得到最终结果。

我一度很疑惑这“无限精度、无限范围”的概念：意思是真的是”无限位数、无限精度“吗？。

网上冲浪这么久，我个人的理解是：

不是，就是一个比最终结果相对更加精确的意思而已…(￣▽￣)"
舍入模式

Z2<Z<Z1Z2 < Z < Z1Z2<Z<Z1，其中ZZZ是中间结果值、Z2Z2Z2与Z1Z1Z1是对ZZZ舍入后的四舍五入的两种情况。

共有四种舍入模式：

舍入的状态位
- 概括
  
  一些“舍入实现”的硬件设计上，可能会设置一些状态位来为“舍入算法”服务。这些状态位的设立目的是什么呢？来，我一起顺手把它看掉。
  fraction就是尾数的小数部分. S是符号位，C是进位，L是尾数的隐藏位. 比较不好理解的是后面三个bit位。
  在IEEE754中，在对浮点数中间结果进行无限精度计算后，在舍入时，需要存储三个bit 信息：G (guard bit), R (round bit), X (stick bit).
- 如何理解 G、R、X 这些位的作用呢？
  
  它们的作用是，舍入采用round to nearest策略时，方便进行舍入的评判：
  
  若有个中间结果的二进制尾数fraction部分在规格化后是：x=xxx.xxxabcdefx=xxx.xxx\ abcdefx=xxx.xxx abcdef，而最终结果需要保留到3位小数。那么根据定义，G=a,R=bG=a, R=bG=a,R=b，而XXX的值是这么来的：若c,d,e,fc,d,e,fc,d,e,f中有任何1个"1"，那么X=1X=1X=1，若c=0,d=0,e=0,f=0→X=0c=0, d=0, e=0, f=0 \to X=0c=0,d=0,e=0,f=0→X=0.
  - G和R是中间结果有效位后面的两位bit值，X是剩余位是否有"1"的状态证明flag。
  由于round to nearest策略的规则是：若余数小于LSB (最低有效位，the least significant bit) 的一半就舍弃、等于LSB的一半就让LSB保持odd、大于LSB的一半就进位 —— 可得到：若G=0G=0G=0，则舍弃；若G=1G=1G=1且R=X=0R=X=0R=X=0则保持odd；若G=1G=1G=1而R=1∣X=1R=1\ |\ X=1R=1 ∣ X=1则进位。
  
  那么很神奇的是，不论中间结果超出有效位需要被舍弃掉的位数有多长，有了G,R,XG, R, XG,R,X三位flag（缺一不可）就足以实现round to nearest策略了、而不需要存储其他bit或进行其他冗杂的舍入判断了！
  
  对于更细致的理解 G,R,XG, R, XG,R,X 在round off时的工作原理，可以见此篇文章，非常具体直观。
  
  function of Guard bit
舍入的误差描述—— ulpulpulp 的概念

在网上看到一本书的截图，大概这个意思：浮点数的精度，通常可以用近似值与实际值的LSB 的所在位数来表示，这个数叫做 末位单位或最低精度，简称 ulp (unit in the last place or unit of least precision).

根据这篇博客：ulp(unit in the last place)是什么意思 —— lubxx CSDN

IEEE754中1ulp1\ ulp1 ulp的值，就是在当前浮点数xxx所处的数轴中，系统能精确表示的相邻浮点数的差（当前位置IEEE754所能表达的最小精度）！根据不同的round off规则（round to 0 或者是round to nearest等四种），其误差计算的方式是：abs( x - 近似存的那个数)/ulp = 多少个ulp.

在没有发生上溢、下溢等异常情况下，IEEE754也可以保证浮点运算的精度控制在 12ulp\frac{1}{2} ulp21ulp 的范围内（书上说的）。

2.4 规格化和IEEE754标准的规格化

这个概念之前一直没搞懂。

一个很重要的概念：

① 规格化≠\neq=IEEE标准的规格化！
② 规格化的概念是对于小数的，整数没有规格化！

规格化

normalized number 规格化数；subnormal number 未规格化的数.

“是否规格化”不是主观自定义的，是确定的。就是说，“未规格化”的MSB一定是在小数点右边.

设，有纯小数 xxx的二进制是这样的：[x]?=xn.xn−1⋯x0[x]_? = x_n.x_{n-1}\cdots x_0[x]?=xn.xn−1⋯x0，其中**xnx_nxn是符号位，中间那个 ⋅\cdot⋅ 是小数点，右边都是小数部分，没有隐含位**.

规格化：规定尾数的最高数位必须是1. 注：指是真值的最高数位，且 不算符号位！
- 左规：尾数左移（小数点 右移），阶码减1；
- 右规：**尾数 ** 右移（小数点 左移），阶码加1；（溢出时要处理）
  
  反应不够快，可以这么想象画面：尾数后面很多个是一队的蛋，在尺子上左右移动，而小数点是一个木桩，小数点右边有一个计数器（阶码）在随着蛋的进出加减变化，流出减少、流入增加。
因此，不同机器码规格化后效果不同：
- 原码
  
  （正数负数是对称的，好理解。）
  
  正数为：0.1XX⋯X0.1\ XX \cdots X0.1 XX⋯X.
  - 故其最大值为0.11⋯10.11 \cdots 10.11⋯1；最小值为0.10⋯00.10 \cdots 00.10⋯0.
    
    对应真值1−2−n≥x≥2−11-2^{-n}\geq x \geq 2^{-1}1−2−n≥x≥2−1.
  负数为：1.1XX⋯X1.1\ XX \cdots X1.1 XX⋯X.
  - 故其最大值为1.10⋯01.10 \cdots 01.10⋯0；最小值为1.11⋯11.11 \cdots 11.11⋯1.
    
    对应真值−(2−1)≥x≥−(1−2−n)-(2^{-1})\geq x \geq -(1-2^{-n})−(2−1)≥x≥−(1−2−n).
- 补码
  
  （正数和原码一样、没变；负数看的是真值的最高数位得是1，而不是机器码的最高位为1，所以补码的最高有效位就变成0了！另一方面，补码是原码负数部分的取反，因此补码表示的范围多1，故真值范围变化了）
  
  正数为：0.1XX⋯X0.1\ XX \cdots X0.1 XX⋯X.
  - 故其最大值为0.11⋯10.11 \cdots 10.11⋯1；最小值为0.10⋯00.10 \cdots 00.10⋯0.
    
    对应真值1−2−n≥x≥2−11-2^{-n}\geq x \geq 2^{-1}1−2−n≥x≥2−1.
  负数为：1.0XX⋯X1.0\ XX \cdots X1.0 XX⋯X.
  - 故其最大值为1.01⋯11.01 \cdots 11.01⋯1；最小值为1.00⋯01.00 \cdots 01.00⋯0.
    
    对应真值−(2−1+2n)≥x≥−(1)-(2^{-1}+2^n)\geq x \geq -(1)−(2−1+2n)≥x≥−(1).
IEEE754标准的规格化

IEEE754由于已经把最高有效位的那个“1”直接隐含掉了！所以根本不需要考虑 “尾数、阶码是不是要出现这个、那个的.01111.01111.01111还是什么.111.111.111还是什么.1000.1000.1000” 的破情况了！

好家伙，原来是这样！

呜呜呜… 感动，终于分清楚了…

2.5 IEEE754的精度问题讨论

之前有印象，但没有例子，不够具体，于是搜了确认了一下。

IEEE754下表示的浮点数范围是变大了（和定点数比），但位数就这么多，表示的“数的个数”是有限的，那肯定导致范围内的有些数是表示不了的。

可以详细参考这篇博客，写的不错也很细：

IEEE754标准: 三, 为什么说32位浮点数的精度是"7位有效数" —— 知乎小姬

我概括、抽取下其中的重点内容：

IEEE754格式中，由于有指数位，所以尾数的变化相同次数后，指数就会+1+1+1，但随着指数的增加，这个精度也是会随着指数的增加而变得粗糙——例如，最开始尾数从00⋯000\cdots 000⋯0（全0）变化到11⋯111 \cdots 111⋯1（全1），指数是从2−1262^{-126}2−126上升为2−1252^{-125}2−125；到后来，尾数变化的次数是相同的（位数就这么多），指数是从21262^{126}2126上升为21272^{127}2127，能表示的数值的精度间隔直接从小数点后变成整数了！

因此，IEEE754就是因此有很多数值是没法存储的，而且这个精度的间隔是在随着指数的增加而越变越大。若把IEEE754所表示的浮点数想象成一个表盘的话, 那表盘上的蓝点不是均匀分布的, 而是越来间隔越大, 越来越稀疏。

跟着这个blog，我在C语言里也做了实验，如下：

这个程序反应了32位IEEE754浮点数（C里的float型），是无法存储8388608.5这个数值的！

而以前在ACM里，常使用的浮点数比较的语句：

if( a-b< 1e-6 ) printf(...equal...);

这个 1e-6 就是来源于此。这个数值就是32位下的IEEE754 规格化范围内的浮点数的最小精度间隔！其精确值大概是：1.19209e−71.19209e-71.19209e−7，小于这个数，float类型就100%区分不出来啦~(￣▽￣)"…

二顺便复习四种机器码

以前对机器码的学习，最无法理解的是对应的“表示公式”在说啥？现在重新捋顺了。

其次，以前更偏向感性的学习（知道概念，但做题慢）；但对于机器码，我目前的认为最好还是理性的去学习，更能长时间并深入地掌握它的定义。

基础概念

书上会提出“真值”和“机器码”的两个概念，还是得认真理解它们的定义。

“真值”——在数学上计算时，表示的十进制的值。

“机器码/数”——在存储时，的存储数据形式。

如：[x]原[x]_原[x]原是机器码，xxx是真值。

具体一点理解：[−3]原=111[-3]_原=111[−3]原=111，−3-3−3是数学上的值，是真值；111111111（含符号位）是机器码（此处是原码）。
- 首先，以下是后文中机器码的xxx的格式：
  
  xnxn−1⋯x2x1x0x_nx_{n-1}\cdots x_2x_1x_0xnxn−1⋯x2x1x0，其中 xnx_nxn是符号位，xix_ixi表示后面有iii个0.

1 原码

KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

这个公式以前就没看懂什么意思，其实表达的是数值计算过程——把有符号的二进制数转换 按 数学上的数值计算 ，最后 转换成无符号原码表示的意思！

便于理解的例子——以负数部分为例

单单一个xxx，是把真值当成“含符号位”的二进制数的数学上的值。

2n2^n2n 表示，把符号位看成无符号数的 2n2^n2n.

xxx 表示真值，∣x∣|x|∣x∣ 表示 xxx 在数学上的绝对值。

举一个具体的例子：[−9]原=11001[-9]_{原}=1\ 1001[−9]原=1 1001 （含符号位）

xxx本身是个数值：x=−9=−1001Bx=-9=-\ 1001Bx=−9=− 1001B；

则其原码是[x]原=11001[x]_原=1\ 1001[x]原=1 1001 (含符号位).

则∣x∣|x|∣x∣就是 xxx 的绝对值，i.e.∣x∣=i.e. |x|=i.e.∣x∣= 9;

因此，按照上面的公式，可以得到：

[x]原=2n−x=16+∣−9∣=16+9=25=11001B(无符号位)=11001B（有符号位）=[−9]原[x]_原= 2^n-x = 16+|-9| = 16+9 = 25 = 11001B (无符号位) \\ \quad = 1\ 1001B（有符号位）=[-9]_{原}[x]原=2n−x=16+∣−9∣=16+9=25=11001B(无符号位)=1 1001B（有符号位）=[−9]原

这样一来，就能看懂这种公式的写法了！(￣▽￣)"

2 反码

正数的反码等于整数的原码；负数的反码等于原码各位取反、符号位不变。

3 补码

正数的反码等于整数的原码；负数的补码等于反码+1、符号位不变。

有了上面的解释，我直接就贴出补码的公式了。

KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

这里多个注意点：此处的∣x∣|x|∣x∣也是表示 xxx 的绝对值.

便于理解的例子——以负数部分为例

举一个具体的例子：[−9]补=10111[-9]_{补}=1\ 0111[−9]补=1 0111 （含符号位）

xxx本身是个数值：x=−9=−1001Bx=-9=-\ 1001Bx=−9=− 1001B；

则其原码是[x]原=11001[x]_原=1\ 1001[x]原=1 1001 (含符号位).

则∣x∣|x|∣x∣就是 xxx 的绝对值，i.e.∣x∣=i.e. |x|=i.e.∣x∣= 9;

因此，按照上面的公式，可以得到：

[x]原=2n+1+(−9)=32+(−9)=23=10111B(无符号位)=10111B（有符号位）=[−9]补[x]_原= 2^{n+1}+(-9) = 32+(-9) = 23 = 10111B (无符号位) \\ \quad = 1\ 0111B（有符号位）=[-9]_{补}[x]原=2n+1+(−9)=32+(−9)=23=10111B(无符号位)=1 0111B（有符号位）=[−9]补

这样一来，就能看懂这种公式的写法了！(￣▽￣)"
若已知补码，如何得到其真值呢？

x=−2nxn+∑i=0n−12ixix=-2^nx_n + \sum\limits_{i=0}^{n-1}2_ix_ix=−2nxn+i=0∑n−12ixi

通用的公式：正数、负数都能用。因为负数时已经在反码阶段将各位（除符号位）全取反了，因此此真值计算公式就不需要进行正数、负数的分类讨论了！
如何由原码求补码？

正数不变；负数，保留最后一个1，然后再往高位并将这些位统统取反。 符号位不变！

（不管转反码、还是转补码，符号位都不会变）
补码的优点是什么？

不管是正数还是负数，都可以实现：

[x]补±[y]补=[z]补[x]_补 \pm [y]_补 = [z]_补[x]补±[y]补=[z]补

但是别的码表示，要分类讨论正负数。

4 移码

不管是正数还是负数，仅将补码的 符号位，统统取反。

[x]移=2n+x[x]_移=2^n+x[x]移=2n+x

通用的公式：正数、负数都能用

因为IEEE的阶码EEE必须用移码，且由于这个形式和计算偏移的形式很像（将符号位对应为2n2^n2n的偏移值），所以书里都说IEEE的阶码EEE是偏移计算 (￣▽￣)"…

所以其实移码、IEEE的阶码EEE的概念中，其实是有符号位的，但我习惯按照偏移的概念去理解，就以为没有符号位了…(￣▽￣)"…

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