[忘记高数]Hesse矩阵
更新:5 JUN 2016
【多元函数Taylor展开】n元函数\(y=f(X)\)在\(X_0\)点的某个领域\(B(X_0,r)\)内二阶连续可微,则\(\forall X\in B(X_0,r), \exists \theta\in (0,1)\),使得
\(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\Delta X+\dfrac{1}{2}(\Delta X)^TH(X_0+\theta\Delta X)\Delta X\)
其中\(\Delta X=X-X_0\)为n维列向量;
\(Jf(X_0)\)即\(f(X)\)在\(X_0\)处的Jacobi矩阵;
\(H(X)\)为\(f(X)\)在\(X\)处的Hesse矩阵。
上面的写法照应Lagrange型余项。当然也可以写成高一阶的Peano型余项形式
\(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\Delta X+\dfrac{1}{2}(\Delta X)^TH(X_0)\Delta X+\alpha(\Delta X)\)
【Hesse矩阵】
\(H(X)=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots& & & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{bmatrix} \)
对于n元函数,相当于是n元m=1维向量值函数,其Jacobi矩阵即其梯度向量的转置(见Jacobi矩阵),可以视为其一阶导数;
那么n元函数的Hesse矩阵相当于其二阶导数。
【应用】在计算化学中求势能面(能量作为多元函数)中某极值点处的曲面近似时即使用Taylor展开,这时要计算Hesse矩阵。
转载于:https://www.cnblogs.com/fnight/p/5561212.html
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