最大公约数Stein算法之verilog实现

求最大公约数有几种算法：1、辗转相除法，2、更相减损术，3、Stein算法。

Stein算法跟更相减损术很像，而且只有比较、移位、减法，非常适合用FPGA实现。

不了解这个算法的，可以先到百度百科看一下，Stein算法百度百科，此外，还要看看C语言实现的算法，百科那里的示例只有30行。

1、算法步骤。

那么，我把百科里面的算法步骤改写一下，让它更适合用verilog实现。

a、先装载A和B的值，C清零。

b、若A＝0，则B是最大公约数；若B＝0，则A是最大公约数；若A＝B，则A是最大公约数。若上面三种情况都不成立，则跳到c，否则跳到d

c、若A是偶数，B是偶数；则A>>1，B>>1，C<<1（LSB填充1）；

若A是偶数，B是奇数；则A>>1，B不变，C不变；

若A是奇数，B是偶数；则A不变，B>>1，C不变；

若A是奇数，B是奇数；则if(A>B) A=A-B;else B=B-A，C不变;

d、输出结果。

同时，也把这四个步骤，抽象成状态机，分别是init，compare，calculate，finish。

接下来，要用状态机输出各种控制信号，来控制各个功能模块（always块），以实现不同的算法步骤。

2、示例代码。（请把代码copy到编辑器上观看，这里不容易排版）

module gcd(
input n_rst,clk,en,
input [7:0] Ain,Bin,
output reg [7:0] gcd_out='b0
);

localparam [1:0] init='b00,compare='b01,calculate='b11,finish='b10;
reg [1:0] cs='b0,ns='b0;
reg load='b0,comp_en='b0,cal_en='b0,out_en='b0,cal_over='b0;

reg [7:0] A_tmp='b0,B_tmp='b0,gcd_tmp='b0,shift_times='b0;
wire [1:0] A_B_LSB;

//three section FSM
//timing sequence part of FSM
always@(negedge n_rst,posedge clk)
if(!n_rst)
cs<=init;
else
if(en)
cs<=ns;

//combination part of FSM
always@(*)
case (cs)
init : ns<=compare;
compare : if (cal_over)
   ns<=finish;
    else
   ns<=calculate;
calculate : ns<=compare;
finish : ns<=init;
default :    ns<=init;
endcase

//register output part of FSM
always@(negedge n_rst,posedge clk)
if(!n_rst)
begin load<=1'b0;comp_en<=1'b0;cal_en<=1'b0; end
else
if(en)
case(ns)
init : begin load<=1'b1;comp_en<=1'b0;cal_en<=1'b0;out_en<=1'b0; end
compare : begin load<=1'b0;comp_en<=1'b1;cal_en<=1'b0;out_en<=1'b0; end
calculate : begin load<=1'b0;comp_en<=1'b0;cal_en<=1'b1;out_en<=1'b0; end
finish : begin load<=1'b0;comp_en<=1'b0;cal_en<=1'b0;out_en<=1'b1; end
default : begin load<=1'b0;comp_en<=1'b0;cal_en<=1'b0;out_en<=1'b0; end
endcase

// whether the value is zero or not
always @(negedge n_rst or posedge clk) begin
   if (!n_rst) begin
   cal_over <= 1'b0;
   gcd_tmp <= 'b0;
   end
   else
if (en) begin
   if (comp_en) begin
   if (A_tmp=='b0) begin
   cal_over <= 1'b1;
   gcd_tmp <= B_tmp;
   end
   else begin
   if (B_tmp=='b0) begin
   cal_over <= 1'b1;
   gcd_tmp <= A_tmp;
   end
   else begin
   if (A_tmp==B_tmp) begin
   cal_over <= 1'b1;
   gcd_tmp <= A_tmp;
      end
   else begin
   cal_over <= 1'b0;
   gcd_tmp <= 'b0;
   end
   end
   end
   end
   end
end

// calculate the gcd
assign A_B_LSB = {A_tmp[0],B_tmp[0]};//if A_tmp[0] = 0 , A_tmp is even and A_tmp >> 1,also as B_tmp;
always @(negedge n_rst or posedge clk) begin
if (!n_rst) begin
   A_tmp <= 'b0;
   B_tmp <= 'b0;
   shift_times<='b0;
end
else
   if (en) begin
   if (load) begin// load the initialization values
   A_tmp <= Ain;
   B_tmp <= Bin;
   shift_times<='b0;
   end
   else begin
   if (cal_en) begin
   case (A_B_LSB)
   2'b00 : begin A_tmp<={1'b0,A_tmp[7:1]};B_tmp<={1'b0,B_tmp[7:1]};
     shift_times<={shift_times[6:0],1'b1};end
   2'b01 : begin A_tmp<={1'b0,A_tmp[7:1]};B_tmp<=B_tmp;
     shift_times<=shift_times;end
   2'b10 : begin A_tmp<=A_tmp;B_tmp<={1'b0,B_tmp[7:1]};
     shift_times<=shift_times;end
   2'b11 : begin if (A_tmp>B_tmp) begin
   A_tmp <= A_tmp-B_tmp;B_tmp <= B_tmp;
   end
   else begin
   B_tmp <= B_tmp-A_tmp;A_tmp <= A_tmp;
   end
   shift_times<=shift_times;
   end
   default : begin A_tmp<=A_tmp;B_tmp<=B_tmp;shift_times<=shift_times;end
   endcase
   end
   end
end
end

// output result , if enable
always @(negedge n_rst or posedge clk) begin
if (!n_rst)
gcd_out <= 'b0;
else
if (en) begin
if (out_en)
   if(cal_over)
   case (shift_times)
      8'h00 : gcd_out <= gcd_tmp;
      8'h01 : gcd_out <= {gcd_tmp[6:0],1'b0};
      8'h03 : gcd_out <= {gcd_tmp[5:0],2'b0};
      8'h07 : gcd_out <= {gcd_tmp[4:0],3'b0};
      8'h0f : gcd_out <= {gcd_tmp[3:0],4'b0};
      8'h1f : gcd_out <= {gcd_tmp[2:0],5'b0};
      8'h3f : gcd_out <= {gcd_tmp[1:0],6'b0};
      8'h7f : gcd_out <= {gcd_tmp[0],7'b0};
      default : gcd_out <= gcd_tmp;
   endcase
   else begin
   gcd_out <= gcd_out;
   end
end
end

endmodule

3、仿真结果。

4、其它问题。

a、为什么要装载A和B的值，而不用A和B端口的值？

端口上的值，只能读不能写，所以需要把A和B的值，装载到寄存器当中，这样，可读可写。而且，寄存器当中的值不受端口影响。

b、如何判断A和B的奇偶性？

很简单的，取A或B的最低位（LSB），LSB是1就是奇数，是0就是偶数。

c、为什么同样一个算法，用C只有30行，而verilog则用150行？

这就是软件和硬件的区别，由于C语言是交给算术逻辑单元（ALU）处理的，ALU本身具有串行的特性，这也就意味着你可以不用写状态机。而verilog则不同，需要你来写状态机。

d、为什么verilog不能像C语言一样，用while、函数嵌套？

这跟上面c的问题一样，区别在于有没有ALU。此外，用verilog的，必须考虑各个always块之间的协作关系，这也导致了verilog语言局部容易看懂，但是整体很难理解的特点。

5、进一步优化。

a、用parameter把上面的代码改成为位宽可以任意设定的。

b、比较用的if (A_tmp>B_tmp) 会因为位宽变大，而导致面积变大。可以把它换成减法，再判断MSB，以减小面积。

c、由于A*B＝最大公约数*最小公倍数，那么，你应该可以写出最小公倍数算法。

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