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电大【计算机数学基础(1)】形成性考核册答案【计算机数学基础(1)】形考作业一： 第1章　命题逻辑 一、单项选择题 1. 下列语句是真命题为( )． A. 我正在说谎　　 B.　如果1+2=3，则雪是黑的　　C. 如果1+2=5，则雪是黑的　 D. 你上网了吗？ 答案：C 解答：A. 我正在说谎，这是勃论．“我正在说”的真值应是1，但是说的是错话，真值为0．故是勃论．B.　这是蕴涵式．令P：1+2=3，真值为1；Q：雪是黑的，真值为0，于是1®0Û0．“如果1+2=3，则雪是黑的”是假命题．C. 令P：1+2=5，真值为0；Q：雪是黑的，真值为0，于是0®0Û1．于是“如果1+2=5，则雪是黑的”是真命题．选项C正确．D. 这是疑问句，不是命题． 2. 命题公式P®(Q®P)为( )． A. 重言式　　B.　可满足式　　C.　矛盾式　　D.　等值式 答案：A． 解答：P®(Q®P)ÛØPÚ(ØQÚP)Û(ØPÚP)ØQÛ1．故选择A． 二、填空题 1. P,Q为两个命题，当且仅当 时，PÙQ的真值为1，当且仅当　　　时，PÚQ的真值为0． 答案：PÛ1ÙQÛ1 (或P的真值为1且Q的真值为1)；PÛ0ÙQÛ0． 解答：见教材关于合取Ù与析取Ú的真值表． 2. 给定两个命题公式A，B，若　　　　，则称A和B时等值的，记作AÛB． 答案：A«BÛ1 解答：见教材“等值”的定义． 3. 任意两个不同极小项的合取为　　　　，全体极小项的析取式为　　　　式． 答案：永假式；永真．解答：见教材第22页的两条性质． 三、计算题 1. 将下列命题符号化； (1) 李强不是不聪明，而是不用功． (2) 如果天不下雨，我们就去郊游． (3) 只有天不下雨，我们才去郊游．解答：(1) 令P：李强聪明，Q：李强用功． 原命题符号化为“Ø(ØP)ÙØQ” (2) 令P：天下雨；Q：我们去郊游．原命题符号化为“ØP®Q” (3) 令P：天下雨；Q：我们去郊游．原命题符号化为“Q®ØP”2. 给出下列公式的真值表；(1) (PÙQ®R)®PÙQÙØR； (2) (ØPÚQ)Ù(Q®R)®Ø(PÙØR)解　(1) 　命题公式(PÙQ®R)®PÙQÙØR 的真值表PQRPÙQPÙQ®RØRPÙQÙØR(PÙQ®R)®PÙQÙØR0000110000101000010011000110100010001100101010001101011111111000(2) 命题公式(ØPÚQ)Ù(Q®R)®Ø(PÙØR)的真值表PQRØPÚQQ®R PÙØRØ(PÙØR)(ØPÚQ)Ù(Q®R)®Ø(PÙØR)00011011 00111011011001101111011100011011010101 11101010111111011 3. 给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，试给出下列命题的真值：(1)PÚ(QÙR).解　PÚ(QÙR)Û1Ú(1Ù0)Û1Ú0Û1 4. 判断下列命题公式的类型：(1)　P®(PÚQÚR)．解　P®(PÚQÚR)ÛØPÚPÚQÚRÛ1 6. 通过求命题公式(PÚQ)®R的主合取范式，求其真值为0的真值指派． 解　方法1．等值演算法． (PÚQ)®RÛØ(PÚQ)ÚRÛ(ØPÙØQ)ÚRÛ(ØPÚR)Ù(ØQÚR)Û(ØPÚ(QÙØQ)ÚR)Ù((PÙØP)ÚØQÚR)ÛÛÛM4ÙM6ÙM2 命题公式(PÚQ)®R的成假赋值为：(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)．注：由此马上可以得到命题公式(PÚQ)®R的主析取范式为　　　　　　　(PÚQ)®RÛm0Úm1Úm3Úm5Úm7 Û(ØPÙØQÙØR)Ú(ØPÙØQÙR)Ú (ØPÙQÙR)Ú (PÙØQÙR)Ú (PÙQÙR) 方法2．列真值表法 　　　　　　　　　　命题公式(PÚQ)®R的真值表PQRPÚQPÚQ®R000010010101010　0111110010101111101011111 取命题公式(PÚQ)®R为0的析取项的合取为所求主合取范式(表中末列的第3,5,7行)： (PÚQ)®RÛ取命题公式(PÚQ)®R为1的合取项的析取为所求主析取范式(表中末列的第1,2,4,6,8行)：(PÚQ)®RÛ(ØPÙØQÙØR)Ú(ØPÙØQÙR)Ú (ØPÙQÙR)Ú (PÙØQÙR)Ú (PÙQÙR) 7. 试求命题公式化PÙQÚR的主析取范式和主合取范式． 解　先求主析取范式．PÙQÚRÛ(PÙQÙ(RÚØR))Ú((PÚØP)Ù(QÚØQ)ÙR)Û(PÙQÙR)Ú (PÙQÙØR)Ú(PÙQÙR)Ú (ØPÙQÙR)Ú (PÙØQÙR)Ú (ØPÙØQÙR)Û(PÙQÙR)Ú (PÙQÙØR)Ú (ØPÙQÙR)Ú (PÙØQÙR)Ú (ØPÙØQÙR)Ûm7Úm6Úm3Úm5Úm1再求主合取范式．PÙQÚRÛ(PÙQ)ÚRÛ(PÚR)Ù(QÚR)Û (PÚ(QÙØQ)ÚR)Ù((PÙØP)ÚQÚR)Û(PÚQÚR)Ù (PÚØQÚR)Ù (PÚQÚR)Ù (ØPÚQÚR)Û(PÚQÚR)Ù (PÚØQÚR)Ù (ØPÚQÚR)ÛM0ÙM2ÙM4 四、证明题 1. 用等值演算法证明PÙ(P®Q)®Q为重言式． 证明　PÙ(P®Q)®QÛPÙ(ØPÚQ)®QÛØ((PÙØP)Ú(PÙQ))ÚQÛ(ØPÚØQ)ÚQÛØPÚ(ØQÚQ)Û1 3. 构造下面推理的证明：(1)前提：R®ØQ，RÚS，S®ØQ，P®Q．结论：ØP． 证明　方法1．用归谬法(反证法)．① Ø(ØP ) 否定结论引入 ②　P 　　T① E1 ③ P®Q 　　前提引入 ④　Q T②,③,I11假言推理⑤ ØØQ T④,E1⑥ R®ØQ 前提引入⑦ ØR T⑤，⑥，I12拒取式 ⑧ RÚS 前提引入 ⑨ S T⑦,⑧，I10析取三段论 ⑩ S®ØQ 前提引入11 ØQ T⑨,⑩，I11假言推理12 QÙØQ T④,　11　，矛盾．　　　　　方法2．直接证明．① R®ØQ 前提引入 ②　ØRÚQ T① E16 ③ S®ØQ 　　前提引入 ④　ØSÚØQ T,③,E16⑤ (ØRÚØQ)Ù(ØSÚØQ) T ②,④，I9合取引入1⑥ Ø(RÚS)ÚØQ T⑤，⑦ RÚS 前提引入　　　 ⑧ ØQ T⑥,⑦，I10析取三段论 ⑨ P®Q 前提引入 ⑩ ØP T⑧,⑨，I12拒取式　　　注：还有其它方法，如证明　　　((R®ØQ)Ù(RÚS)Ù(S®ØQ)Ù(P®Q))®ØP是永真式(即真值为1)．请同学自己练习． 第2章　谓词逻辑 一、单项选择题 1. 设L(x)：x是演员，J(x)：x是教师，A(x,y)：x佩服y．命题“所有演员都佩服某些教师”．可符号化为( )． A． B．C． D． 答案：B． 解答：选项A显然不对，公式中y是什么都没有交待． 选项B中，公式翻译出来为“任给x，如果x是演员，就存在y(有一些y)，若y是教师，都有演员佩服教师”，也即“所有演员都佩服某些教师”．此命题中，L(x)和J(x)都是特性谓词，对全称量词"，特性谓词后用®，对存在量词$，特性谓词后用Ù，见教材第41页14～15行．故选项B正确． 选项C中，公式翻译出来为“任给x，x是什么没交待，紧跟其后存在y，y是什么，没交待，关系乱．故选项C不正确． 选项D中，公式翻译出来为“任给x，x是什么没交待，紧跟其后存在y，y是什么，没交待，关系乱，且没有蕴涵联结词®．故选项D不正确． 2. 与是( )． A. 等价式　　B.　蕴含式　　　C.　重言蕴含式 答案：A． 解答： 选项A，对任意解释I，有DI，"xA(x)要么是1,要么是0，但是B是命题，它的真值是确定的．先看"xA(x)®B的真值．若BÛ1，有；若BÛ0，有　　再看"xA(x)®"(x)B的真值．因为B与x无关，"xB的真值与B的真值相同．有若BÛ1，则"xBÛ，有；若BÛ0，则"xBÛ1，有 可见，Û．故选项A正确． 从上面的解释可知，Û 但是要注意：与不等值．而是Û． 二、填空题 2. 公式中的自由变元为　　　，约束变元为　　　　　． 答案：x，y；x，z． 解答：在中x是约束变元，y是自由变元．在中约束变元是z，自由变元是y．在S(x)中只有自由变元x．总之，在公式中约束变元是x，z；自由变元是x，y． 三、计算题 1. 在谓词逻辑中，将下列命题符号化：(1) 有些人喜欢所有的花；(2) 尽管有人聪明，但未必每个人都聪明． 解　(1) 设M(x)：x是人，F(x)：x是花，L(x,y)：x喜欢y． 命题“有些人喜欢所有的花”符号化为：． (2) 设M(x)：x是人，H(x)：x是聪明．命题“尽管有人聪明，但未必每个人都聪明”符号化为：或 2. 对下面每个公式指出约束变元和自由变元：(1) $x"y(P(x)ÙQ(y))®"xR(x)； (2) $x$y(P(x,y)ÙQ(z))． 解　(1) $x"y(P(x)ÙQ(y))®"xR(x)中的约束变元是：x，y；无自由变元． (2) $x$y(P(x,y)ÙQ(z))中的约束变元是：x，y；自由变元是：z． 3. 设个体域D={a,b,c}，试将下列各式化为不含量词的形式：(1) "xF(x)Ù$xG(x)； (2) "x(P(x)®Q(x))． 解　(1) "xF(x)Ù$xG(x)ÛF(a)ÙF(b)ÙF(c)Ù(G(a)ÚG(b)ÚG(c))； (2) "x(P(x)®Q(x))Û(P(a)®Q(a))Ù(P(b)®Q(b))Ù(P(c)®Q(c))． 4. (1) 已知解释I如下：个体域DI={－2,3,6}；DI中的特殊元素e=6，P:3>2，Q(x)：x£3，R(x)：x>5．求"x(P®Q(x))ÚR(e)的真值． (2) 已知解释N如下：个体域DN={2}；P(x)：x>3，Q(x)：x=3．求$x(P(x)®Q(x))． 解　(1) "x(P®Q(x))ÚR(e)Û(P®Q(－2))Ù(P®Q(3))Ù(P®Q(6))ÚR(6)Û(1®1)Ù(1®1)Ù(1®0) Ú1Û1Ù1Ù0Ú1Û0Ú1Û1(2) $x(P(x)®Q(x))ÛP(2)®Q(2)Û0®0Û1 5. 求谓词公式"xP(x)®"zQ(x,z)Ú"zR(x,y,z)的前束范式 解　"xP(x)®"zQ(x,z)Ú"zR(x,y,z)Û $xØP(x)Ú"zQ(x,z)Ú"zR(x,y,z) (化去®)　　　　Û$uØP(u)Ú"vQ(x,v)Ú"zR(x,y,z)(约束变元换名)　　　　Û$u"v"z(ØP(u)ÚQ(x,v)ÚR(x,y,z))(扩大量词的辖域)　　　　Û$u"v"z(P(u)®Q(x,v)ÚR(x,y,z)) 注：最后两个都是前束范式． 6. 求谓词公式$x(Ø$yP(x,y)®($zQ(z)®R(x)))的前束范式 解　$x(Ø$yP(x,y)®($zQ(z)®R(x)))Û$x("yØP(x,y)Ú("zØQ(z)ÚR(x)))(化去®)　　　Û$x"y"z(ØP(x,y)Ú(ØQ(z)ÚR(x)))(扩大量词辖域)Û $x"y"z(P(x,y)®( Q(z)®R(x))) 四、证明题 1. 试证明"xA(x)Ú"xB(x)Þ"x(A(x)ÚB(x)) 证明　"xA(x)Ú"xB(x)Þ"x(A(x)ÚB(x))，只须证明"xA(x)Ú"xB(x)®"x(A(x)ÚB(x))Û1．方法1．若"xA(x)Ú"xB(x)Û0，则必有"xA(x)Ú"xB(x)®"x(A(x)ÚB(x))Û1； 若"xA(x)Ú"xB(x)Û1，即对任意解释I,有DI，"xA(x)Û1或"xB(x)Û1，即"xÎDI，有A(x)Û1或"xÎDI，有B(x)Û1，也就是"xÎDI，有A(x)Û1或B(x)Û1，有"x(A(x)ÚB(x))Û1．即"x(A(x)ÚB(x))为真． 总之有"xA(x)Ú"xB(x)®"x(A(x)ÚB(x))Û1，所以"xA(x)Ú"xB(x)Þ"x(A(x)ÚB(x))． 方法2．构造证明． ① "xA(x)Ú"xB(x) 前提引入 ② A(y)Ú"xB(x) T①,US ③ A(y)ÚB(y) T②,US ④ "y(A(y)ÚB(y)) T③,UG ⑤ "x(A(x)ÚB(x) 2. 构造下面推理证明： 前提：$xP(x)®"xQ(x) 结论："x(P(x)®Q(x)) 证明　方法1，归谬发(反证法)． ① Ø"x(P(x)®Q(x)) 否定前提引入 ② Ø"x(ØP(x)ÚQ(x)) T①,E16 ③ $x(P(x)ÙØQ(x)) T②,否定移入 ④ P(c)ÙØQ(c) T③，ES　　⑤ P(c) T④，化简 ⑥ ØQ(c)　　　　　　　　T④，化简⑦ $xP(x) T⑤,EG⑧ $xP(x)®"xQ(x) 前提引入　　⑧ "xQ(x) T⑦,⑧，I11,假言推理　　⑨ Q(c) T⑧,US ⑩ ØQ(c)ÙQ(c) T⑥,⑨，I9合取引入 方法2． ① $xP(x)®"xQ(x) 前提引入　　② "xØP(x)Ú"xQ(x) T①，消去®　　　③ "x(ØP(x)ÚQ(x)) T②，教材第48页3.(14)(Þ)　　④ "x(P(x)®Q(x)) T③，E16电大天堂【计算机数学基础(1)】形考作业二： 第3章　　集合及其运算 一、单项选择题 1. 设集合A={1,a}，则P(A)=( )． A. {{1},{a}} B. {Æ,{1},{a}} C. {Æ,{1},{a,},{1,a}} D. {{1},{a},{1,a}} 答案：C． 解答：依据幂集合的定义，P(A)是由A的所有子集构成的集合，集合A的子集有：Æ，{1},{a}和{1,a}．故选项A正确． 2. 设A,B,C为任意三个集合，下列命题正确的是( )． A. 若AÈB=AÈC，则B=C B. 若AÇB=AÇC，则B=C C. 若～AÈB=E且AÊB，则A=B D. 若A－B＝Æ，则A=B 答案：C． 解答：若A={1,2,3}，B={1,2}，C={1},则AÈB=AÈC，但B¹C．故选项A不正确． 若A={a,b}，B={a}，C={a,c}．有AÇB=AÇC，但B¹C．故选项B不正确． 因为AÊB，故～AÇB=Æ，又～AÈB=E，故～A=～B，所以A=B．故选项C正确． 若AÍB，则有A－B＝Æ．故A－B＝Æ，得不到A=B．故选项D不正确． 3. 设A,B,C,D为任意四个集合，下列命题正确是( )．. A. (BÈC)×A=B×AÈC×A　　　　B. (A×B)×C＝A×(B×C)C. (BÇC)×A=(B×A)È(C×A)　　　D.　AÍC且BÍD，则A×C＝B×D 答案：A． 解答：选项A.正确．证明如下．"，Î(BÈC)×AÛbÎ(BÈC)ÙaÎAÛ(bÎBÚbÎC)ÙaÎAÛ(bÎBÙaÎA)Ú(bÎCÙaÎA)ÛÎB×AÚÎC×AÛÎ( B×AÈC×A) 所以，(BÈC)×A=B×AÈC×A． 选项B.中笛卡尔积(A×B)×C的有序对是<,c>的形式，而A×(B×C)的有序对是>的形式，它们不相等． 选项C.不正确，举例说明．如A={a},B={1,2},C={2,3},于是(BÇC)×A＝{<2,a>}．而B×AÈC×A＝{<1,a>,<2,a>}È{<2,a>,<3,a>}={<1,a>,<2,a>,<3,a>}．所以(BÇC)×A¹(B×A)È(C×A)．若将右端的È改为Ç，即有(BÇC)×A=(B×A)Ç(C×A)．证明类似选项A.．请读者练习． 选项D作为一般结论不成立，正确结论请见教材第83页定理6．若A=B=Æ时，结论成立． 二、填空题1 . 填写下列集合之间的关系：　　　(1) {1,3,7} {3,7}；(2) {5,7}　　　{5,8}；(3) Æ {1,3}；(4) {2,3} 　　 {2,3}． 答案：(1) É或Ê；　(2) Ë或¹　　； (3) Ì或Í； (4) =． 解答：(1) 显然{3,7}是{1,3,7}的子集，且是真子集，故填写“É”．一般地，子集用“Ê”也可以． (2) 这两个集合不存在互为集合，填写“Ë或¹”都不错．更确切讲应说“{5,7}与{5,8}是相交集合”． (3) 空集合Æ是任何集合的子集，故填写“Ì或Í”都可以． (4) 它们是一个集合，相等． 2. 由集合的吸收律，(AÈB)ÇB= ，AÈ(AÇB)= ． 答案：B；A． 解答：按照教材第72页：8.　吸收律为AÇ(AÈB)=A．由于交和并的运算都有交换律，故(AÈB)ÇB=BÇ(BÈA)=B．AÈ(AÇB)=A． 3. 有序对=的充分必要条件是　　　　　． 答案：a=x,b=y． 解答：见教材第3章3.3节有序对的定义10． 三、计算题 1. 用列举法或描述法表示下列集合： (1) 不超过29的全体素数组成的集合； (2) 不等式的解集． 解　(1) S={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}(列举法) (2) A={x½x－1>0ÙxÎ}={x½x>1ÙxÎ}(描述法) 2. 设A={x½34，xÎ}．求 (1) AÈB； (2) A－B；　　(3) AÅB． 解　(1) AÈB={x½(34)ÙxÎ}={x½34，xÎ}＝{x½3,}；(A×B)Ç(A×C)＝({a,b}×{1,2,3})Ç{a,b}×{3,4}={