Karhunen-Loeve Transform KLT 原理及PCA应用

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Karhunen-Loeve Transform（KLT）是一种数据变换与分析方式，常用于数据压缩和PCA降维。

1. KLT是什么变换，KLT的目的是什么？

KLT是对向量x做的一个正交变换y=Φx，目的是变换到y后去除数据相关性。

PS：其中，Φ是x特征向量组成的矩阵，满足Φ^TΦ=I，当x都是实数时，Φ是正交矩阵。

2. 为什么说KLT可以去除数据相关性？

用m_y表示向量y的平均值，y的协方差矩阵记为Σy，通过变换 y=Φ^Tx，有

写成矩阵形式：

由此可见，做了KLT变换之后呢，Σy成为了对角阵，也就是对于任意i≠j，有cov(yi,yj)=0；i=j有cov(yi,yj)=λi，所以说去除了数据相关性。而且，yi的方差与x协方差矩阵的第i个特征值相等，即。

3. 如何将KLT用于PCA？

PCA降维可以用于压缩（详见主成分分析的介绍），这里做一个概要：

假设待压缩数据为N维向量x，通过KLT变换压缩成M维信号y（M<N）

找到x的均值M_x和协方差矩阵 Σ_x
计算 Σ_x的特征值λi和特征向量φi，并按照λi递减（从大到小）的顺序重新组合，i∈[0,N-1]
根据能量比>=threshold 进行m个主成分的选择
将M个最大特征值对应的特征向量重新组合成N*M的特征向量矩阵 Φ_m
做KLT变换 y = Φ_m^Tx，形成压缩向量y

逆KLT变换恢复x，x =Φ_my

Reference：

1. http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/klt/node4.html

2. http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/klt/node3.html

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