本文目录

一、二叉堆的定义
- 结构性质
- 堆序性质
二、二叉堆的底层存储结构
三、二叉堆的插入
四、二叉堆的删除
五、源码和测试

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一、二叉堆的定义

二叉堆：首先是一棵二叉树，其次这棵二叉树要满足结构性质和堆序性质

结构性质：是一颗完全二叉树
堆序性质：
- 大顶堆：对于树中的任意节点，要求key大于等于它的两个孩子，两个孩子之间没有排序要求，所以根节点拥有最大值
- 小顶堆：对于树中的任意节点，要求key小于等于它的两个孩子，两个孩子之间没有排序要求，所以根节点拥有最小值

二叉堆常常用来实现优先级队列，在JDK的定时任务java.util.Timer中，就通过一个小顶堆TaskQueue来存放定时任务TimerTask。

1.结构性质

二叉堆是一颗完全二叉树。

完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

这个定义看了就像没看一样，我们讲点通俗易懂的。

满二叉树每一层的节点都是满的：

第零层只有根节点，所以有2^0=1个节点
第一层有2^1=2个节点
第二层有2^2=4个节点
第三层有2^3=8个节点
......

如果一棵二叉树每一层的节点都是满的，这棵树就是满二叉树。下图就是一颗满二叉树。

满二叉树一定是一颗完全二叉树，但完全二叉树不一定是一颗满二叉树。

完全二叉树结构上很接近满二叉树，只是允许最后一层不满，并且中间不允许空洞。

下图就是一颗完全二叉树，中间没有空洞，虽然最后一层不满，但你从上到下逐层、每层从左往右的看，除了最后一层缺最后几个节点，中间一个不缺，没有一个漏洞。

像下面两图，在最后一层从左往右看的时候，你会发现中间出现了一个空洞，所以既不是满二叉树，也不是完全二叉树。

2.堆序性质

如果是大顶堆，那么对于这颗完全二叉树中的任意节点，都有该节点的key大于等于它的两个孩子，而两个孩子之间没有排序的要求。

如果是小顶堆，那么对于这颗完全二叉树中的任意节点，都有该节点的key小于等于它的两个孩子，而两个孩子之间没有排序的要求。

下图就是一个小顶堆：

这个结构虽然看起来杂乱无章，但切切实实的是一个小顶堆，稍后你看过二叉堆的源码实现你就能理解了。

二、二叉堆的底层存储结构

二叉堆的底层存储结构通常是数组，用顺序存储的数组来存放节点，并且数组的第0个下标是不用的。

所以在二叉堆中，定义一个数组用来存储插入的节点：

private Node<K, V>[] queue = new Node[size];

二叉堆的底层存储结构形如下图：

第0个下标不用，这样就很容易拿到某一个节点的父节点和孩子节点。

找到某一个节点的父节点：

 /*** 输入当前节点的index，获取父节点的index* @param index* @return*/private int parent(int index) {return index >> 1;}

找到某一个节点的左孩子：

 /*** 输入当前节点的index，获取其左孩子的index* @param index* @return*/private int left(int index) {return 1 << index;}

找到某一个节点的右孩子：

left(index) + 1;

因为要满足完全二叉树的结构性质，所以如果某一个节点只有一个孩子，那一定是左孩子，如果是右孩子那相当于左孩子处出现空洞，也就意味着二叉堆底层存放节点的数组中间出现了值为null的下标。

三、二叉堆的插入

插入操作既不能破坏二叉堆的结构性质（完全二叉树）也不能破坏二叉堆的堆序性质。

为了不破坏二叉堆完全二叉树的结构性质，我们在二叉堆中定义一个size，有两个用处：

一则是用来记录堆中存放节点的数量；
二则当插入节点的时候queue[++size]整好定位到新节点存放的位置，二叉堆中存放节点的数组queue[]中不会出现空洞；

为了满足二叉堆的堆序性质，新节点要不断的向上回溯：

如果是大顶堆，向上回溯直至根节点或其父节点大于等于自己；
如果是小顶堆，向上回溯直至根节点或其父节点小于等于自己；

大顶堆插入示例代码：

 /*** 向二叉堆中插入数据* @param key* @param value*/public void insert(K key, V value) {if ((size + 1) == this.queue.length)this.queue = Arrays.copyOf(queue, 2 * queue.length);queue[++size] = new Node<K, V>(key, value);fixup(size);}/*** 新插入的节点放入数组index=size，这样不会破坏二叉堆的结构性质（完全二叉树）* 然后拿到其父节，比较两者的key，如果新插入节点的key大于父节点的key，则两者交换位置* 这样不断向上回溯，直至跟节点或小于其父节点的key*/private void fixup(int index) {while (index > 1) {int parentIndex = parent(index);// 如果父亲的key大于等于自己的key，则停止向上回溯if (queue[parentIndex].key.compareTo(queue[index].key) >= 0)break;// 如果父亲的key小于自己的key，则与父亲交换位置，然后继续向上回溯Node<K, V> tmp = queue[parentIndex];queue[parentIndex] = queue[index];queue[index] = tmp;index = parentIndex;}}

四、二叉堆的删除

二叉堆的删除操作是摘掉根节点，即把queue[1]摘掉。

同样的，删除操作同样不能破坏二叉堆的结构性质和堆序性质。

为了保证删除操作时二叉堆完全二叉树的结构性质，当把根节点queue[1]摘掉的时候会出现空洞，于是我们把最后一个节点queue[size]挪过来填补空洞。

为了保证删除操作时二叉堆的堆序性质，当把最后一个节点queue[size]挪到根节点的时候，我们需要不断的向下回溯：

如果是大顶堆，向下回溯直至两个孩子中最大的一个小于等于自己或已经没有孩子可以比较；
如果是小顶堆，向下回溯直至两个孩子中最小的一个小于等于自己或已经没有孩子可以比较；

大顶堆删除示例代码：

 /*** 大顶堆的根节点拥有最大值，所以deleteMax会摘掉根节点* 这样会导致空洞，为了不破坏二叉堆完全二叉树的结构性质，将最后一个节点移动到根节点* 然后与它的两个孩子中较大的那一个作比较，如果小于则往下移动* 直至最后一层或大于其孩子中较大的那一个* @return*/public V deleteMax() {Node<K, V> root = queue[1];queue[1] = queue[size];queue[size--] = null;fixDown(1);return root.value;}private void fixDown(int index) {// 完全二叉树：如果一个节点有孩子，那一定先有左孩子int childIndex;/** 如果节点至少有一个孩子（因为是完全二叉树，所以如果有一个孩子那一定先是左孩子）* 那么进入while循环，开始向下回溯*/while ((childIndex = left(index)) <= this.size) {// 要找两个孩子中较大的那一个作比较，所以再判断一下有没有右孩子int rightIndex = childIndex + 1;if (rightIndex <= size && queue[rightIndex].key.compareTo(queue[childIndex].key) > 0)childIndex = rightIndex;// 比较较大的孩子和当前节点是否需要交换if (queue[index].key.compareTo(queue[childIndex].key) >= 0)break;Node<K, V> tmp = queue[index];queue[index] = queue[childIndex];queue[childIndex] = tmp;index = childIndex;}}

五、源码和测试

大顶堆源码：

package cn.wxy.blog2;import java.util.Arrays;/*** 大顶堆* @author 王大锤* @date 2021年6月26日*/
public class BinaryHeap<K extends Comparable<K>, V> {static class Node<K extends Comparable<K>, V> {private K key;private V value;public Node(K key, V value) {this.key = key;this.value = value;}public K getKey() {return key;}public void setKey(K key) {this.key = key;}@Overridepublic String toString() {return this.key + ":" + value + " ";}}@SuppressWarnings("unchecked")private Node<K, V>[] queue = new Node[16];private int size = 0;public BinaryHeap() {}/*** 输入当前节点的index，获取父节点的index* @param index* @return*/private int parent(int index) {return index >> 1;}/*** 输入当前节点的index，获取其左孩子的index* @param index* @return*/private int left(int index) {return 1 << index;}/*** 向二叉堆中插入数据* @param key* @param value*/public void insert(K key, V value) {if ((size + 1) == this.queue.length)this.queue = Arrays.copyOf(queue, 2 * queue.length);queue[++size] = new Node<K, V>(key, value);fixup(size);}/*** 新插入的节点放入数组index=size，这样不会破坏二叉堆的结构性质（完全二叉树）* 然后拿到其父节，比较两者的key，如果新插入节点的key大于父节点的key，则两者交换位置* 这样不断向上回溯，直至跟节点或小于其父节点的key*/private void fixup(int index) {while (index > 1) {int parentIndex = parent(index);// 如果父亲的key大于等于自己的key，则停止向上回溯if (queue[parentIndex].key.compareTo(queue[index].key) >= 0)break;// 如果父亲的key小于自己的key，则与父亲交换位置，然后继续向上回溯Node<K, V> tmp = queue[parentIndex];queue[parentIndex] = queue[index];queue[index] = tmp;index = parentIndex;}}/*** 大顶堆的根节点拥有最大值，所以deleteMax会摘掉根节点* 这样会导致空洞，为了不破坏二叉堆完全二叉树的结构性质，将最后一个节点移动到根节点* 然后与它的两个孩子中较大的那一个作比较，如果小于则往下移动* 直至最后一层或大于其孩子中较大的那一个* @return*/public V deleteMax() {Node<K, V> root = queue[1];queue[1] = queue[size];queue[size--] = null;fixDown(1);return root.value;}private void fixDown(int index) {// 完全二叉树：如果一个节点有孩子，那一定先有左孩子int childIndex;/** 如果节点至少有一个孩子（因为是完全二叉树，所以如果有一个孩子那一定先是左孩子）* 那么进入while循环，开始向下回溯*/while ((childIndex = left(index)) <= this.size) {// 要找两个孩子中较大的那一个作比较，所以再判断一下有没有右孩子int rightIndex = childIndex + 1;if (rightIndex <= size && queue[rightIndex].key.compareTo(queue[childIndex].key) > 0)childIndex = rightIndex;// 比较较大的孩子和当前节点是否需要交换if (queue[index].key.compareTo(queue[childIndex].key) >= 0)break;Node<K, V> tmp = queue[index];queue[index] = queue[childIndex];queue[childIndex] = tmp;index = childIndex;}}/*** 层序遍历二叉堆，实际上就是顺序打印二叉堆的底层数组*/public void traversalHeapByLevel() {System.out.print("打印堆queue[]：");for (Node<K, V> node : queue)System.out.print(node + " ");System.out.println();}/*** 通过删除根节点来遍历大顶堆*/public void traverssalHeapByDelete() {System.out.print("循环deleteMax：");while(size > 0)System.out.print(deleteMax() +" ");System.out.println();}
}

在大顶堆中，定义了两个方法来做测试，一个是traversalHeapByLevel方法打印大顶堆底层存储结构queue[]，一个是traverssalHeapByDelete不断的deleteMax摘掉大顶堆的根节点，其中traverssalHeapByDelete的输出应该满足从大到小的顺序。

测试代码：

 public static void main(String[] args) {int[] array = {8, 57, 11, 34, 53, 71, 87, 21, 98, 81};printArray(array);BinaryHeap<Integer, String> heap = new BinaryHeap<Integer, String>();for (int i : array)heap.insert(i, i + "");heap.traversalHeapByLevel();heap.traverssalHeapByDelete();}public static void printArray(int[] array) {System.out.print("测试数据：");Arrays.stream(array).forEach(value -> System.out.print(value + " "));System.out.println();}

输出结果：

测试数据：8 57 11 34 53 71 87 21 98 81
打印堆queue[]：null 98:98 87:87 71:71 53:53 81:81 11:11 57:57 8:8 21:21 34:34 null null null null null
循环deleteMax：98 87 81 71 57 53 34 21 11 8

参考资料：

《算法导论》
《数据结构与算法：Java语言描述》
《大话数据结构》
jdk java.util.TaskQueue源码

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