李弘毅机器学习笔记：第八章

李弘毅机器学习笔记：第八章—Backprogation

背景
- 梯度下降
- 链式法则
反向传播
- - 取出一个Neuron进行分析
- Forward Pass
- Backward Pass
- - case 1 : Output layer
  - case 2 : Not Output Layer
总结

背景

梯度下降

给到 θ\thetaθ (weight and bias)
先选择一个初始的 θ0\theta^0θ0，计算 θ0\theta^0θ0 的损失函数（Loss Function）设一个参数的偏微分
计算完这个向量（vector）偏微分，然后就可以去更新 θ\thetaθ
百万级别的参数（millions of parameters）
反向传播（Backpropagation）是一个比较有效率的算法，让你计算梯度（Gradient）的向量（Vector）时，可以有效率的计算出来

链式法则

连锁影响(可以看出x会影响y，y会影响z)
BP主要用到了chain rule

反向传播

损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。

对于L(θ)L(\theta)L(θ)就是所有lnl^nln的损失之和，所以如果要算每个L(θ)L(\theta)L(θ)的偏微分，我们只要算每个lnl^nln的偏微分，再把所有lnl^nln偏微分的结果加起来就是L(θ)L(\theta)L(θ)的偏微分，所以等下我们只计算每个lnl^nln的偏微分。
我们先在整个神经网络（Neural network）中抽取出一小部分的神经（Neuron）去看（也就是红色标注的地方）：

取出一个Neuron进行分析

从这一小部分中去看，把计算梯度分成两个部分

计算∂z∂w\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z（Forward pass的部分）
计算∂l∂z\frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l ( Backward pass的部分 )

Forward Pass

那么，首先计算∂z∂w\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z（Forward pass的部分）：

根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：

∂z∂w1=x1∂z∂w2=x2\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2∂w1∂z=x1∂w2∂z=x2
这里计算得到的x1x_1x1和x2x_2x2恰好就是输入的x1x_1x1和x2x_2x2
直接使用数字，更直观地看到运算规律：

Backward Pass

(Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层：
那怎么计算 ∂l∂z\frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l （Backward pass的部分）这就很困难复杂因为我们的lll是最后一层：

计算所有激活函数的偏微分，激活函数有很多，这里使用Sigmoid函数为例

这里使用链式法则（Chain Rule）的case1，计算过程如下：

∂l∂z=∂a∂z∂l∂a⇒σ′(z)\frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}'(z)∂z∂l=∂z∂a∂a∂l⇒σ′(z)
∂l∂a=∂z′∂a∂l∂z′+∂z′′∂a∂l∂z′′\frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z'} +\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z''}∂a∂l=∂a∂z′∂z′∂l+∂a∂z′′∂z′′∂l

最终的式子结果：

但是你可以想象从另外一个角度看这个事情，现在有另外一个神经元，把forward的过程逆向过来,其中σ′(z){\sigma}'(z)σ′(z)是常数，因为它在向前传播的时候就已经确定了

case 1 : Output layer

假设∂l∂z′\frac{\partial l}{\partial z'}∂z′∂l和∂l∂z′′\frac{\partial l}{\partial z''}∂z′′∂l是最后一层的隐藏层
也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果

但是如果不是最后一层，计算∂l∂z′\frac{\partial l}{\partial z'}∂z′∂l和∂l∂z′′\frac{\partial l}{\partial z''}∂z′′∂l的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去

case 2 : Not Output Layer

对于这个问题，我们要继续计算后面绿色的∂l∂za\frac{\partial l}{\partial z_a}∂za∂l和∂l∂zb\frac{\partial l}{\partial z_b}∂zb∂l,然后通过继续乘w5w_5w5和w6w_6w6得到∂l∂z′\frac{\partial l}{\partial z'}∂z′∂l，但是要是∂l∂za\frac{\partial l}{\partial z_a}∂za∂l和∂l∂zb\frac{\partial l}{\partial z_b}∂zb∂l都不知道，那么我们就继续往后面层计算，一直到碰到输出值，得到输出值之后再反向往输入那个方向走。

对上图，我们可以从最后一个∂l∂z5\frac{\partial l}{\partial z_5}∂z5∂l和∂l∂z6\frac{\partial l}{\partial z_6}∂z6∂l看，因为∂l∂za\frac{\partial l}{\partial z_a}∂za∂l和∂l∂zb\frac{\partial l}{\partial z_b}∂zb∂l比较容易通过output求出来，然后继续往前求∂l∂z3\frac{\partial l}{\partial z_3}∂z3∂l和∂l∂z4\frac{\partial l}{\partial z_4}∂z4∂l，再继续求∂l∂z1\frac{\partial l}{\partial z_1}∂z1∂l和∂l∂z2\frac{\partial l}{\partial z_2}∂z2∂l
最后我们就得到下图的结果

实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。

总结

我们的目标是要求计算∂z∂w\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z（Forward pass的部分）和计算∂l∂z\frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l ( Backward pass的部分 )，然后把∂z∂w\frac{\partial z}{\partial w}∂w∂z和∂l∂z\frac{\partial l}{\partial z}∂z∂l相乘，我们就可以得到∂l∂w\frac{\partial l}{\partial w}∂w∂l,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数