详解Bresenham算法原理（1）

今晚心血来潮想起写直线的算法。第一次接直线算法的就是看《Windows游戏编程大师技巧》的时候，它解说了直线光栅化的其中一个快速算法，叫做Bresenham算法，刚开始看的时候以为是什么了不起，当我了解后，其实也没什么了不起，用不着高等数学的知识，只要高中的知识就够了。

解释上图：
    1.现在开始教程，先给出直线方程的斜截式 y = kx + b (k是斜率，b是在y轴上的截距)。再看上图：横线与竖线所有交点代表屏幕上的某区域内所有的整数连续点，也就是说在屏幕显示的点，直线，或其它几何图形只能用整数点体现,例如直线分别在x,y方向上的增量只能是1或0，所以不能常规的代值方法去求Y值。
    2.我先解释一下上图的构造：绿色字P1,P2,P3,P4代表在屏幕上求得的像素点(现在我先给出，等下再推理),P0和Pn分别是线段的起始点和结束点，黄色字M0,M1,M2,M3代表的是直线与竖线的交点，这些点是虚拟的点，在屏幕上是不存在的，现在标出只是为了好理解，等一会会借助它去求绿色字的点。黄色的线就是实际的线段图形
    3.好了，精彩的部分来了！！

P1,P2,P3,P4的求解过程(注意：屏幕的y轴正方向是向下的)：
    1.由于画线函数的参数是起始点与结束点，因此P0(x0,y0)和Pn(xn,yn)是已知，所以现在要求下一个点，即要证明下一个点是上图的P1点（先给出再证明），现在我们看看上图，下一个点只能取(x0 + 1, y0) 或(x0 + 1, y0 - 1) (为什么以x方向为增量呢？后面再说明理由)，为什么y方向上只能取y0 或 y0 - 1 呢，取y0 - 2行吗！你想想，要是取y0 - 2在屏幕上显示的直线与实际直线的走向偏差太大了！所以不能取啊！取y0 + 1是同样的道理(不行)！
    2.那么怎么决定y方向上是取 y0 还是 y0 - 1 呢？为此，要借助M0点，现在以x为增量求
出M0, 只要把x0 + 1 代入斜截式得
y = k(x0 + 1) + b                      (1)

现在还有k和b是没求出的，这很容求出由于P0在线段P0Pn上，且k = (yn - y0) / (xn - x0),为了简化表示设
dy = yn - y0,
dx = xn - x0,
于是求出b为
b = y0 - (dy / dx) * x0,
然后把b,k = dy / dx代入（1）式得
y = (dy / dx)(x0 + 1) + y0 - (dy / dx) * x0;
化简得：
y = k + y0;
于是求出M0(x0 + 1, k + y0),现在要比较线段|P1M0| 和 |M0Q1|（在写程序的时候可能不知道是哪个点先哪个点后，而只知道开始点与结束点，所以为了保证两线段为正，另外是因为我们只比较大小）的大小，显然，这两条线段都很容易求出，求出后比较大小，如果|P1M0| < |M0Q1| （至于实现的方法有多种）则取P1作为下一个像素点，否则取Q1为下一个像素点

同理求M1得M1(x0 + 2, 2 * k + y0),用同样的方法比较|Q1M1| 和 |M1P2|,取得第三个像素点，用同样的道理可依次求出后面的像素点的坐标值。

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