[XSY3320] string （AC自动机，哈希，点分治）

XSY3320

前置芝士：回文前缀&&borderborderborder
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考虑点分治，问题变成求经过重心的回文路径个数。
一条经过重心的回文路径长这样：

xxx到zzz的串与yyy到rootrootroot的串相同。

建出根到每个节点对应的串的AC自动机，并在failfailfail树上找出每个串的回文前缀。判断根到某个节点对应的串是不是回文串可以用哈希解决。

根据borderborderborder理论，一个回文串的所有回文前缀的长度可以组成一个不超过O(logn)O(logn)O(logn)项的等差数列。即若TkT_kTk是回文串，TkT_kTk的最长回文真前缀是Tk−1T_{k-1}Tk−1，Tk−1T_{k-1}Tk−1的最长回文真前缀是Tk−2T_{k-2}Tk−2，…，T2T_2T2的最长回文真前缀是T1T_1T1，那么有∣Ti∣=∣Ti−1∣+d|T_i|=|T_{i-1}|+d∣Ti∣=∣Ti−1∣+d（ddd为公差）。

考虑一个点作为xxx的贡献。设根到xxx对应的串为UUU，UUU在AC自动机上对应点XXX。把UUU的最长回文真前缀看成TkT_kTk，那么TiT_iTi作为回文串TTT时，我们要查询有多少个点yyy，满足根到yyy对应的串是UUU的后缀，且长度为∣U∣−∣Ti∣=∣U∣−∣T1∣−(i−1)d|U|-|T_i|=|U|-|T_1|-(i-1)d∣U∣−∣Ti∣=∣U∣−∣T1∣−(i−1)d，记有num[i]num[i]num[i]个符合条件的yyy。那么最后这个xxx的贡献就是∑i=1knum[i]\sum_{i=1}^{k}num[i]∑i=1knum[i]，换句话说，我们要求有多少个点yyy，满足根到yyy对应的串是UUU的后缀，且长度lenlenlen符合：len≡∣U∣−∣T1∣(modd),∣U−T1∣≤len≤∣U∣−∣Tk∣len\equiv|U|-|T_1|(\mod d),|U-T_1|\leq len\leq |U|-|T_k|len≡∣U∣−∣T1∣(modd),∣U−T1∣≤len≤∣U∣−∣Tk∣。

UUU的后缀，即XXX在failfailfail树上的祖先对应的串。我们对failfailfail树dfsdfsdfs，同时开一个数组ci,jc_{i,j}ci,j 记录当前节点有多少个祖先（包括自己），满足该祖先代表的串的长度 modi=j\mod i=jmodi=j。

那么最终贡献就是dfsdfsdfs到的点代表的串长为∣U∣−∣Tk∣|U|-|T_k|∣U∣−∣Tk∣时cd,(∣U∣−∣T1∣)moddc_{d,(|U|-|T_1|)\mod d}cd,(∣U∣−∣T1∣)modd的值减去 dfsdfsdfs到的点代表的串长为∣U∣−∣T1∣−d|U|-|T_1|-d∣U∣−∣T1∣−d时cd,(∣U∣−∣T1∣)moddc_{d,(|U|-|T_1|)\mod d}cd,(∣U∣−∣T1∣)modd的值。

但这样空间复杂度是O(n2)O(n^2)O(n2)的，所以我们考虑分块，只开到c[n][n]c[\sqrt{n}][\sqrt{n}]c[n][n]的大小，对于公差大于n\sqrt{n}n的，我们暴力跳failfailfail寻找答案。

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