计算机组成原理--数的表示及计算

文章目录

三、数的表示及计算
- 1.定点数的表示
- - 1.原码表示范围：
  - 2.补码表示的范围
- 2.定点数运算
- - 1.加减运算：
  - 2.移位运算
  - - **逻辑移位：** 逻辑左移，逻辑右移
    - **循环移位：**
    - **算数移位：**
    - 溢出过半：
- 3.浮点数的表示
- 4.浮点数的运算

三、数的表示及计算

1.定点数的表示

1.原码表示范围：

符号位和数据为i相对独立

N位原码表示范围：

二进制形式：
[1111…11,01111…111]

整数：
[−(2n−1−1),2n−1−1][-(2^{n-1}-1),2^{n-1}-1][−(2n−1−1),2n−1−1]
共计：2n−12^n-12n−1

小数：
[−(1−2−(n−1)),1−2−(n−1)][-(1-2^{-(n-1)}),1-2^{-(n-1)}][−(1−2−(n−1)),1−2−(n−1)]
共计：2n−12^n-12n−1

因为0有两种表示，所以比N为能表示的状态少1种。

2.补码表示的范围

N位补码表示范围

	-4	-2	-1	0	1	2	4
补码	1100	1110	1111	0000	0001	0010	0100

思考：
[1000]补的真值是谁 ?

是-8，也就是说补码可以表示出比原码多一位的数，而且0的表示方法唯一。

考虑N为补码的表示形式：

	形式	真值（整数）	真值（小数）
最大正数	011111…1111	$2^{n-1}-1	1−2−(n−1)1-2^{-(n-1)}1−2−(n−1)
最大负数	11…11111111	−2n−1-2^{n-1}−2n−1	−(1−2−(n−1))−2−(n−1)=−1-(1-2^{-(n-1)})-2^{-(n-1)}=-1−(1−2−(n−1))−2−(n−1)=−1

2.定点数运算

1.加减运算：

补码的加减法基本公式：

[A+B]补=[A]补+[B]补
[A-B]补=[A]补+[-B]补
优点：直接运算

溢出的判断：
双符号位法：两个符号位同时运算，双符号位不同则溢出，上溢和下溢。

2.移位运算

逻辑移位：逻辑左移，逻辑右移

移出位移走，补位位补0

eg：1010
左移：0100
右移：0101

循环移位：

小循环移位小循环左移，小循环右移
移出移入到补位位，同时移入到标记为C中
在数字最前和最后分别有一个C位，储存溢出位

eg：1010
左移：1  0101
右移：0101   0

大循环移位：大循环左移，大循环右移
移出位移入到C位，C位移入到补位位

eg：0 1010左移：1 0100右移：0101 0

算数移位：

（1）保留数值的数学意义，左移相当于乘以2，右移相当于除以2
（2）存在溢出或精度丧失
原码：符号位不动，数值位逻辑左右移
补码：带着符号位一起移动
移出位移走。补位位：高位补符号位，地位补零。

溢出过半：

原码：符号位为0或1，数值位最高位为1
补码：符号位为0，数值最高位为1；符号位为1，数值最高位为0.

3.浮点数的表示

规则：
1）组成部分、顺序
2）每个组成部分位数
3）尾数和阶码表示形式：
尾数：定点小数
阶码：定点整数

一、IEEE754标准
1.格式：
32位（float）和64位（double）

2. IEEE有关阶码的规定
（1）用修正过的移码表示
修正过的移码可以表示0和±∞；

float：真值（e）=机器数的值（E）-128
double：真值（e）=机器数的值（E）-1024

（2）有关移码
e=E−2n−1e=E-2^{n-1}e=E−2n−1

（3）E位全零或者全1的状态都不用

全0：表示数值0
全1：表示+-∞

所以正式的IEEE754标准：
e=E−(2n−1−1)e=E-(2^{n-1}-1)e=E−(2n−1−1)

3. IEEE有关尾数的规定
（1）用修正过的原码表示尾数
（2）最高数值位必须为1，并且省略。
这样进一步提高了数据的精度。
（3）什么是规格化的尾数（M）
∣M∣>=1/2=(0.1)2|M|>=1/2=(0.1)_2∣M∣>=1/2=(0.1)2

因为尾数最高的数值位为1，并且省略。
E：阶码
S：符号位
M：尾数
float：(−1)s∗1.M∗2E−127(-1)^s*1.M*2^{E-127}(−1)s∗1.M∗2E−127
double:(−1)s∗1.M∗2E−1023(-1)^s*1.M*2^{E-1023}(−1)s∗1.M∗2E−1023

4. IEEE与真值的相互转换
eg:Float类型413C0000H的真值是多少:

413C0000H=(01000001001111000000000000000000)2413C0000H =(0100 0001 0011 1100 0000 0000 0000 0000)_2413C0000H=(01000001001111000000000000000000)2

S=0；M=0111；E=10000010S=0；M=0111；E=1000 0010S=0；M=0111；E=10000010

e=(−1)s∗1.M∗2E−127e=(-1)^s*1.M*2^{E-127}e=(−1)s∗1.M∗2E−127
=(−1)0∗1.01111∗2130−127=(-1)^0*1.01111*2^{130-127}=(−1)0∗1.01111∗2130−127
=(1011.11)2=(1011.11)_2=(1011.11)2
=11.75=11.75=11.75

5. Float类型的表示范围

二、非IEEE754标准

1.有机组成部分

每部分可以用不同的编码表示，最常见的阶码和尾数都用补码表示。

2. 表示范围
（1）为什么要规格化？
为了进一步提高数据精度
（2）规格化的本质是什么？
∣尾数∣>=0.5|尾数|>=0.5∣尾数∣>=0.5

(3)这种本质的体现是什么？
尾数分别用原码和补码表示的时候规格化的尾数是什么形式的？
原码：数值最高位为1
补码：1.0xxxxx或者0.1xxxxx或者1.1xxxxx

（4）IEEE754标准如何做的规划化？
尾数最高的数值位为1，并且省略。

设某浮点数阶码和尾数都用4位二进制补码表示。

4.浮点数的运算

一、IEEE754标准的加减运算
（1）0操作数检查
（2）对阶：小阶向大阶对齐，尾数右移
（3）尾数加减：补码双符号位
（4）规格化：左规；右规

左规：尾数+-不发生溢出，结果不是规格化，左规尾数不定，阶码-1，知道规格化为止；
右规：尾数+-发生溢出，带两个符号位右移移位，阶码+1

（5）舍入，阶码采用补码双符号位运算。0舍1入。
（6）判断溢出
在溢出判断中，什么样的情况才算溢出？
阶码溢出才叫溢出
尾数溢出是否标志着结果的溢出？
尾数溢出不表示结果的溢出