pcdmis怎么导出模型_从代数几何到导出代数几何：复形的几何

最近学习的时候遇到有人使用导出代数几何的语言，于是自己补习了一下，在这里把我领悟到的想法记录下来。因为初学，所以肯定有些东西没有把握住正确的观点，大家看个乐就行~

本文适合于已掌握代数几何基础的同学阅读。

一、链复形有几何解释吗？

在岁月的长河中，概形

的几何非平凡性，大都可以表述为

上的层的截面函子

到底有多不正合。也即，我们往往考虑

上的层构成的

上链复形范畴

及其导出范畴
上链复形之间的态射函子
及其导出函子

其中

是

-模复形，其第

项

，我们常记

。

例（导出完备化，[StP]091N）：给定交换环

及其主理想

，对

，

关于

导出完备

；
的导出完备化典范同构于

。

可以看到，

关于

导出完备就等价于“

在主开集

上的导出截面为零”，而对

作导出完备化就好比“把

限制在

的补集上”。

我们不禁发问，复形自身是否具有几何解释？

二、代数拓扑给我们的启发：单纯方法

定理（Dold-Kan对应，[StP]019G）：给定阿贝尔范畴

，它的度非负的链复形范畴就等价于它的单纯对象范畴：

特别地，单纯

-模范畴等价于度非负的

-模链复形范畴：

其中，一个单纯集(simplicial set)

是有限序数范畴

到

的反变函子（见[StP]0169），它由集合

构成，

里的每个元素都被称为

单形(simplex)。单纯对象的概念和我们在代数拓扑里学单纯、奇异同调时给每个拓扑空间

联系上的它的所有

-单形的直观一致。如果用这种单纯的眼光看世界的话，那么

一个单纯集就是一个几何空间！

如此一来，Dold-Kan对应就帮我们完成了任何一个链复形的几何实现：每条

-模链复形都联系到一个单纯

-模。

代数几何研究代数的几何，在第一节中我们遇到的复形

也理应看作

-代数组成的复形。但是

-代数构成的范畴

不是阿贝尔范畴！我们没法直接使用Dold-Kan对应给一个由

-代数组成的复形以几何实现！更别谈像

一样谈论它的导出范畴了……

三、“非阿贝尔范畴

的导出范畴”：模型范畴及其同伦范畴

为了对非阿贝尔范畴

做类似于

的事情，我们转而考虑单纯

-代数组成的范畴

，并把“定义导出范畴”这件事情一般化到

上来。这便是Quillen[Qui]在1967年定义的

模型范畴（model category）（见[GJ]第2章）。

在模型范畴

（如：

）中，有一族指定的态射

，称为

弱等价态射(weak equivalence)（如：拟同构(quasi-isomorphism)）。

模型范畴中的主要研究对象是把它的所有弱等价态射取逆得到的范畴

，称之为

同伦范畴(homotopy category)

（如：

）。

我们可以对任一对象（如：

）找到它的一个弱等价替代物（如：投射预解式

）。

从而模型范畴之间的函子

（如：

）在替代物上的限制

诱导了同伦范畴之间的导出函子

（如：

）。

于是我们想要在

上定义模型范畴结构。

定理（[GS]4.17）：

上有典范模型范畴结构，使得

是模型范畴之间的函子。

其中

是让一个

-模

张成一个多项式代数

。

到了这一步，我们已经找准了导出代数几何中的研究对象：单纯

-代数

，它们构成范畴

。并且其同伦范畴

是单纯

-代数的同伦等价类构成的范畴。

四、怎么能轻易忘记同伦呢：单纯强化范畴

父母从小就教我们，对自己好的人我们不能忘记！你看同伦让我们把甜甜圈等同于汽车轮胎，使我们在路过面包店的时候对它们熟视无睹，即省下了钱又减下了肥，同伦对我们这么好同学们怎么能忘记它呢！

也就是说，对于模型范畴

，尽管它自己太复杂，使我们不得不做简化考虑它的同伦范畴

，但我们也不能简化得太多，其同伦范畴理应赋予更多的结构。

比如对于模型范畴

，其同伦范畴

的两对象

，我们有态射复形

，而不简简单单只有

。

对应到单纯对象那边，对于模型范畴

，其同伦范畴

的两对象

，我们有态射单纯集

，而不简简单单只有

。对

也类似。

这个同伦范畴，两对象不仅仅只是有范畴对象之间的态射，而是有着一个态射空间（mapping space）！这样的范畴被称为单纯强化范畴（simplicial enriched category），也即范畴里的任意两个对象

联系了一个单纯集

，这些单纯集之间可以像态射一样复合。

我们把该同伦范畴里的对象看作“点”；

把两个点

对应的单纯集

的

-单形看作“

点之间的路径”；

把单纯集

的

-单形看作“

路径之间的连续变化”；

……

这样同伦范畴不再仅仅是同伦等价类的全体，而是记录了所有同伦的一个几何空间！换句话说，单纯强化范畴是单纯、同伦的视角下的几何空间！

定理（Dwyer-Kan局部化，[Ber]第3节）：对任一模型范畴

，存在典范单纯强化范畴

，使得同伦范畴

。

这个单纯强化范畴就是记录了所有同伦的“强化版同伦范畴”。

这样我们可以给出仿射导出概形（affine derived scheme）的定义：

定义（[To]2.2节）：设单纯交换环构成的模型范畴为

，其Dwyer-Kan局部化的反范畴

被称为仿射导出概形范畴，记为

。

五、不同的记住同伦的办法

事实上，单纯强化范畴只是同伦眼光下的一种几何空间。

我们可以把两对象

之间的态射空间

加多点要求，比如：它不仅仅是单纯集，还是一个Kan复形（Segal范畴）；或者不让它成为单纯集，而是一般的紧生成拓扑空间（拓扑强化范畴）……

一般的同伦眼光下的几何空间，理应是无穷范畴(infinite category)。无穷范畴就是有对象、有对象之间的态射、有态射之间的态射……而没有加入一些单纯的条件或是复合的限制。

给无穷范畴加一点复合限制，比如

-范畴，所谓的大于

阶的态射都可逆。

定理（[Ber]）：单纯强化范畴、Segal范畴、拓扑强化范畴，都是

-范畴的具体实现方式。特别地，所有的单纯强化范畴构成的模型范畴、所有的Segal范畴构成的模型范畴、所有的拓扑强化范畴构成的模型范畴，三者作为模型范畴等价。

Lurie在他的几大本著作中选取的

-范畴的表现形式是弱Kan复形。如果用nerve的观点，一个Kan复形对应着一个

，一个弱Kan复形对应着一个

强化范畴。一个

-范畴就理应是一个

强化范畴（所有高阶态射可逆嘛！）。所以Lurie专注于的

-范畴，其全体构成的模型范畴也与我们之前提到的模型范畴等价！

六、总结

Dold-Kan对应

启发我们考虑

；
使我们考虑导出的推广：模型范畴

及其同伦范畴

；
考虑模型范畴
的Dywer-Kan局部化

，它是一个单纯强化范畴，它记录了所有同伦，并且它的同伦等价类就是

；
仿射导出概形范畴就是
。

七、参考文献

[StP] The Stacks project authors, The Stacks Project, 2019.

[GJ] Goerss, P., and J.F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, 1999.

[To] Toën, B., Derived Algebraic Geometry, 2014.

[GS] Goerss, P., and K. Schemmerhorn, Model Categories and Simplicial Methods, 2006.

[Ber] Bergner, J.E, A Survey of (infty,1)-categories, 2006.

[Qui] Quillen, D., Homotolical Algebra, 1967.