Knuth Shuffle
Knuth Shuffle
- 问题描述
- 算法描述
- 算法实现
- 算法证明
- 算法分析
- 延伸问题
- 不改变原有数组
- 算法描述
- 算法实现
- 算法证明
- 未知长度的原始数组
- 算法实现
- 产生一个随机的环排列
- 算法描述
- 算法实现
- 算法证明
- 实践中可能发生的问题
- 取模的概率不均等
- 伪随机
问题描述
Knuth Shuffle，也称作Fisher-Yates Shuffle，是一种对一个有限序列生成随机排列的算法。
算法描述
假设原数组为a[]a[]a[]，长度为nnn，从最后一个元素开始，产生一个000到n−1n-1n−1的随机整数jjj，并将交换a[j]a[j]a[j]与a[n−1]a[n-1]a[n−1]的值；这样便确定了最后结果中a[n−1]a[n-1]a[n−1]的值；之后，产生下一个000到n−2n-2n−2的随机整数jjj，交换a[j]a[j]a[j]与a[n−2]a[n-2]a[n−2]的值，这样便确定了最后结果中a[n−2]a[n-2]a[n−2]的值；重复这个步骤直到确定a[1]a[1]a[1]。
算法实现
public void knuthShuffle(int[] a) {for (int i = a.length - 1; i > 0; i -= 1) {int j = StdRandom.Uniform(i + 1);//Swap(a[j], a[i])int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}
算法证明
从第一次循环可以看出，任何一个元素出现在a[n−1]a[n-1]a[n−1]的概率是均等的，都是1n\frac{1}{n}n1。在第二次循环中，任何一个元素出现在a[n−2]a[n-2]a[n−2]的概率为(1−1n)×1n−1=1n(1-\frac{1}{n})\times\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n}(1−n1)×n−11=n1。以此类推，可以得到任意一个元素出现在a[k]a[k]a[k]的概率均为1n\frac{1}{n}n1。证毕。
算法分析
显然，Knuth Shuffle的时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，空间复杂度为O(1)O(1)O(1)。同时要注意的是，Knuth Shuffle是一个in-place的shuffle。
延伸问题
不改变原有数组
这要求我们一边初始化数组，一边产生随机排列。
算法描述
从0开始一直到n−1n-1n−1，每次循环中初始化并确定a[i]a[i]a[i]的值。在循环中，产生一个000到iii的随机整数jjj，如果j!=ij!=ij!=i，那么将a[j]a[j]a[j]赋给a[i]a[i]a[i]（注意到此时必有j<ij<ij<i，所以在之前的循环中a[j]a[j]a[j]已经被初始化过了）。之后，将source[j]source[j]source[j]赋给a[j]a[j]a[j]。注意到最后一步中，如果之前j=ij=ij=i，那么a[i]a[i]a[i]正好用source[j]source[j]source[j]，也就是source[i]source[i]source[i]初始化。
算法实现
public int[] knuthShuffleInsideOut(int[] Source) {int[] a = new int[Source.length()];for (int i = 0; i < Source.length; i++) {int j = StdRandom.Uniform(i + 1);if ( j != i ) a[i] = a[j];a[j] = Source[i];}return a;
}
算法证明
证明的一种方法是数学归纳法。如果source[]source[]source[]的长度为1，显然这个算法是正确的。假定这个算法对长度为kkk的source[]source[]source[]成立，则前kkk次循环中已经洗好了source[]source[]source[]的前kkk位，在最后一次循环中，显然任意一个元素出现在任意位置的概率是均等的。因此这个算法对长度为k+1k+1k+1的source[]source[]source[]也正确，证毕。
另一种证明方法是考虑算法中的随机数jjj，考虑循环中产生出的nnn个jjj，显见j[0]=0j[0]=0j[0]=0，j[1]={0,1}j[1]=\{0,1\}j[1]={0,1}，…，j[n]={0,1,2,...,n}j[n] = \{0, 1, 2, ... , n\}j[n]={0,1,2,...,n}。所以j[]j[]j[]一共有n!n!n!种可能，且每种可能是等概率的。而任意两个不同的j[]j[]j[]一定会产生不同的a[]a[]a[]。这是因为考虑这两个j[]j[]j[]最后一个不同的元素j[i]j[i]j[i]，显然这表明source[i]source[i]source[i]在这两个j[]j[]j[]生成的a[]a[]a[]中被分配到了不同的位置上。所以这两个数组也一定不同。而我们知道长度为nnn的source[]source[]source[]的全排列一共也有n!n!n!种。这表明每一个j[]j[]j[]对应着一种排类，而且每一种排列出现的概率相等。证毕。
未知长度的原始数组
考察上面的算法，发现我们只在两个地方使用到了原始数组的长度，其一是初始化数组a[]a[]a[]时，其二是用在了for循环的结束条件中。那么如果原始数组是一个数据流，且我们不知道其长度，如何改变算法呢？
对于第一处使用，我们可以使用可变长度的数组arrayList，对于第二处使用，显然for循环的结束条件可以改为数据流结束。因此，我们可以得到如下的算法。
算法实现
public ArrayList<Integer> knuthShuffleUnknownLength(String[] args) {ArrayList<Integer> a = new ArrayList<>();while (!StdIn.isEmpty()) {int intFromIn = StdIn.readInt();int j = StdRandom.Uniform(a.size() + 1);if ( j == a.size() ) a.add(intFromIn);else {a.add(a.get[j]);a.set(j, intFromIn);}}
}
产生一个随机的环排列
一个数组的一种排列可以看成是对index的一种映射，例如[1,3,4,2]，可以看成f(1)=1,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=2f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 2f(1)=1,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=2。于是这个数组中存在两个环1−>1−>11->1->11−>1−>1以及2−>3−>4−>22->3->4->22−>3−>4−>2。如果这个数组中只有一个环，则我们称之为一个环排列。例如[2,3,4,1]中只存在2−>3−>4−>12->3->4->12−>3−>4−>1一个环，则它是一个环排列。可以证明，一个数组的环排列的个数为(n−1)!(n-1)!(n−1)!。（元素1寻找自己的下一个映射有n−1n-1n−1种选择，选好后，这个元素寻找自己的下一个映射有n−2n-2n−2种选择…)
算法描述
这个算法称之为Sattolo算法，与Knuth Shuffle的唯一不同在于，在循环中我们产生000到i−1i-1i−1的随机整数，而非000到iii。亦即不会选中自己。
算法实现
public void knuthShuffle(int[] a) {for (int i = a.length - 1; i > 0; i -= 1) {int j = StdRandom.Uniform(i);//Swap(a[j], a[i])int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}
算法证明
首先我们证明Sattolo算法一定会产生一个环排列。我们知道，初始数列中有nnn个长度为111的环，即每个元素都映射到自己。第一次循环中，最后一个数与之前的一个数发生交换，使得两个环merge成了一个环(a[j]−>a[n−1]−>a[j]a[j]->a[n-1]->a[j]a[j]−>a[n−1]−>a[j])，环的总数下降为了n−1n-1n−1。在下一个循环中，前n−1n-1n−1个数中同样是n−1n-1n−1个长度为111的环，在交换后，环的数量再次下降了一个。因此，经过n−1n-1n−1次循环后，环的数量下降为111，所以我们证明了这是一个环排列。
再来证明这个算法均等地产生了所有环排列。因为环排列的种数为(n−1)!(n-1)!(n−1)!，而在n−1n-1n−1次循环中我们产生了(n−1)(n-1)(n−1)个不同的j[]j[]j[]，且每种j[]j[]j[]都对应不同的排列，每种j[]j[]j[]产生的概率都相等。因此我们证明了Sattolo算法均等地给出了所有环排列。证毕。
实践中可能发生的问题
这个部分主要参考了维基百科。除了在实现过程中错误地指定了随机数的范围外，这个算法可能会因为系统实现随机数的一些问题而导致出现偏差。
取模的概率不均等
考虑到一些随机数的实现方式总是产生[0,RandMax]中的随机整数，而后通过取模的方式让这个随机整数落在[0, n]上，如果nnn不能整除RandMax，那么这个随机整数的产生概率是有偏差的，并且会趋向于较小的余数。
伪随机
一个数组的全排列个数有n!n!n!种，如果该伪随机数表的状态有qqq种，则它只能产生2q2^q2q种不同序列的随机数数组。例如一个只有32种状态的伪随机数产生器是不能产生长度为52的数组（一副扑克牌）的全排列的（因为232<<52!2^{32}<<52!232<<52!）。
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