矩阵初等变换与方阵可逆的条件

前置知识：

【定义】逆矩阵
逆矩阵的性质
【定义】行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形
矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

前置定理 1　初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

前置定理 2　有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。

证明　不妨设 nnn 阶方阵 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 均可逆，则有 (AB)(AB)−1=(AB)(B−1A−1)=E(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1} = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) (\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}) = \boldsymbol{E}(AB)(AB)−1=(AB)(B−1A−1)=E，即 AB\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}AB 可逆。以此类推，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。得证。

前置性质 3　设 A\boldsymbol{A}A 是一个 m×nm \times nm×n 矩阵，对 A\boldsymbol{A}A 施行一次初等行变换，相当于在 A\boldsymbol{A}A 的左边乘相应的 mmm 阶初等矩阵；对 A\boldsymbol{A}A 施行一次初等列变换，相当于在 A\boldsymbol{A}A 的右边乘相应的 nnn 阶初等矩阵。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

前置定理 4　若矩阵 A\boldsymbol{A}A 可逆，则 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \ne 0∣A∣=0。

证明见 “逆矩阵的性质”。

前置定义 5（行最简形矩阵）　若行阶梯形矩阵满足：

非零行的首非零元为 111；
首非零元所在的列的其他元均为 000

则称此矩阵为行最简形矩阵。

说明见 “【定义】行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形”。

前置定理 6　初等矩阵都是可逆的，且其可逆矩阵是同一类型的初等矩阵。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

前置定义 7　对于 nnn 阶矩阵 A\boldsymbol{A}A，如果有一个 nnn 阶矩阵 B\boldsymbol{B}B，使
AB=BA=E\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} AB=BA=E
则说矩阵 A\boldsymbol{A}A 是可逆的，并把矩阵 B\boldsymbol{B}B 称为矩阵 A\boldsymbol{A}A 的逆矩阵，简称逆阵。

说明见 “【定义】逆矩阵”。

前置定理 8　设 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 为 $m \times n $ 矩阵，那么：A∼rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A∼rB 的充分必要条件是存在 mmm 阶可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使 PA=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}PA=B。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

首先，为讨论方阵可逆时的非零行数，有引理及证明如下：

引理 1　若 nnn 阶方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆，则 A\boldsymbol{A}A 的非零行数为 nnn。

证明　设 nnn 阶方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆，根据前置定理 4 可知，∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \ne 0∣A∣=0。

使用反证法，设 A\boldsymbol{A}A 中存在第 iii 行，该行所有元素均为 000；将行列式 ∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣ 按该行展开，则有行列式 ∣A∣=0|\boldsymbol{A}| = 0∣A∣=0，与 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \ne 0∣A∣=0 冲突。因此，A\boldsymbol{A}A 中的非零行数为 nnn。

引入矩阵的初等变换，有性质及证明如下：

性质 1　方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,⋯,Pl\boldsymbol{P}_1,\boldsymbol{P}_2,\cdots,\boldsymbol{P}_lP1,P2,⋯,Pl，使得 A=P1P2⋯Pl\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \cdots \boldsymbol{P}_lA=P1P2⋯Pl。

证明　先证充分性。设 A=P1P2⋯Pl\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \cdots \boldsymbol{P}_lA=P1P2⋯Pl，因为初等矩阵都是可逆的（前置定理 1），又因为有限个可逆矩阵的乘积仍可逆（前置定理 2），所以 A\boldsymbol{A}A 是可逆的。

再证必要性。设 nnn 阶方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆，它经过有限次初等行变换成为行最简形矩阵 B\boldsymbol{B}B。由前置性质 3 可知有初等矩阵 Q1,Q2,⋯,Ql\boldsymbol{Q}_1,\boldsymbol{Q}_2,\cdots,\boldsymbol{Q_l}Q1,Q2,⋯,Ql 使
Q1Q2⋯QlA=B\boldsymbol{Q}_1 \boldsymbol{Q}_2 \cdots \boldsymbol{Q_l} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} Q1Q2⋯QlA=B
因为初等矩阵都是可逆的（前置定理 1），又因为 A\boldsymbol{A}A 可逆，再因为有限个可逆矩阵的乘积仍可逆（前置定理 2），所以 B\boldsymbol{B}B 是可逆的，从而 B\boldsymbol{B}B 的非零行数为 nnn（引理 1）。因为 B\boldsymbol{B}B 是行最简形矩阵矩阵，所以 B\boldsymbol{B}B 有 nnn 个首非零元 111，且首非零元所在的列的其他元均为 000（前置定义 5），但 B\boldsymbol{B}B 只有 nnn 个列，所以 B=E\boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}B=E。于是
A=Q1−1Q2−1⋯Ql−1B=Q1−1Q2−1⋯Ql−1E=Q1−1Q2−1⋯Ql−1=P1P2⋯Pl\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}_1^{-1} \boldsymbol{Q}_2^{-1} \cdots \boldsymbol{Q_l}^{-1} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{Q}_1^{-1} \boldsymbol{Q}_2^{-1} \cdots \boldsymbol{Q_l}^{-1} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{Q}_1^{-1} \boldsymbol{Q}_2^{-1} \cdots \boldsymbol{Q_l}^{-1} = \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \cdots \boldsymbol{P}_l A=Q1−1Q2−1⋯Ql−1B=Q1−1Q2−1⋯Ql−1E=Q1−1Q2−1⋯Ql−1=P1P2⋯Pl
其中 Pi=Qi−1\boldsymbol{P}_i = \boldsymbol{Q}_i^{-1}Pi=Qi−1 为初等矩阵（前置定理 6），即 A\boldsymbol{A}A 是若干个初等矩阵的乘积。

根据性质 1，有推论和证明如下：

推论 1　方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆的充分必要条件是 A∼rE\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{E}A∼rE。

证明　方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆，等价于：存在可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使 PA=E\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}PA=E。（前置定义 7）

存在可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使 PA=E\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}PA=E，等价于 A∼rE\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{E}A∼rE。（前置定理 8）

综上所述，方阵 A\boldsymbol{A}A 可逆的充分必要条件是 A∼rE\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{E}A∼rE。得证。

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