赛后题解——真假亚瑟王（数论）

C. 真假亚瑟王

题目描述

魔术师梅林在水晶球中预见了莫德雷德的叛逆，她决定在在莫德雷德叛逆之前采取一个有效的策略保护亚瑟王。
具体做法如下：使用魔法将亚瑟王复制成N份，当然，其中只有一个使真的。她认为这样就能有效的保护亚瑟王不被杀死。
为了自己能最终找到亚瑟王，她将所有的亚瑟王按1-N编号，并设定了一个密码数字X。真亚瑟王的编号是最接近N的且不能被2−X中任何一个数整除的数。（即真亚瑟王的编号的约数不再2−X中）。

输入

两个整数X,N，用一个空格隔开。

输出

真亚瑟王的编号。

样例输入

3 6

样例输出

5

样例输入

3 4

样例输出

1

样例输入

5 50

样例输出

49

提示

【数据范围】
对于30%的数据，2≤X≤N≤102≤X≤N≤102≤X≤N≤10
对于60%的数据，2≤X≤N≤10002≤X≤N≤10002≤X≤N≤1000
对于80%的数据，2≤X≤N≤1052≤X≤N≤10^52≤X≤N≤105
对于100%的数据，2≤X≤N≤1092≤X≤N≤10^92≤X≤N≤109

解决思路：分类讨论

提示：不合法代表一定不是答案，合法代表一定是答案。
已知：对于整数nnn，小于等于nnn且距离最近的素数离nnn不会太远，所以直接暴力枚举，判断素数即可。
第一类：x2≥nx^2 \ge nx2≥n
1、因为一个合数肯定有一个小于等于根号的因子，所以小于等于nnn的所有合数的最小因子必然在区间[2,x][2,x][2,x]内，因此[2,n]2,n]2,n]的合数不合法。
2、[2,x][2,x][2,x]的每个数不合法。
综上所述，[x+1,n][x+1,n][x+1,n]的素数可能合法。
暴力判断小于等于nnn且距离最近的素数（前提是大于等于x+1x+1x+1或者大于xxx）
若存在素数，输出素数。
若不存在素数，输出111（由于[2,n][2,n][2,n]中没有一个数合法，只剩下数字111了）
第二类：x2<nx^2 < nx2<n
1、因为一个合数肯定有一个小于等于根号的因子，所以小于等于x2x^2x2的所有合数的最小因子必然在区间[2,x][2,x][2,x]内，因此[2,x2][2,x^2][2,x2]的合数不合法，但是[x2+1,n][x^2+1,n][x2+1,n]的合数可能合法。
例如：x=2，n=99x=2，n=99x=2，n=99时，999999合法但是是合数。
2、[x+1,n][x+1,n][x+1,n]的素数可能合法。
综上所述，从nnn开始往小于nnn的数开始判断，如果这个数是素数或者它不是[2,x][2,x][2,x]中任意数的倍数的话，输出这个数即可（直接枚举小于根号的因子判断是否在[2,x][2,x][2,x]内）

代码

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;#define mod 77797
typedef long long ll;
const int N = 2e1 + 10;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;bool judge(int n, int x) {if (n == 1) return true;if (n >= 2 && n <= x) return false;for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if (n % i == 0) {if (i <= x) return false;}}return true;
}
bool isPrime(ll n) {if (n == 1) return false;for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if (n % i == 0) {return false;}}return true;
}int main() {ll x, n;cin >> x >> n;if (x * x >= n) {while (n > x) {if (isPrime(n)) {cout << n << endl;return 0;}n--;}cout << 1 << endl;return 0;}else {while (n) {if (judge(n, x)) {cout << n << endl;return 0;}n--;}}return 0;
}

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