看骰子的六个面需要多少次 – 潘登同学的概率论笔记

来源

前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

解答

简化为硬币问题

一般做法

假设两次就能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正反"or“反正”(另外两个为"正正"，“反反”），概率为12\frac{1}{2}21；
假设三次才能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正正反"or“反反正”(另外两个为"正正正"，“反反反”），概率为14\frac{1}{4}41(因为"正正"，"反反"出现的概率为12\frac{1}{2}21)；
以此类推…

n	2	3	⋯\cdots⋯	k
p	12\frac{1}{2}21	14\frac{1}{4}41	⋯\cdots⋯	12k−1\frac{1}{2^{k-1}}2k−11

En=2∗12+3∗14+⋯+k∗12k−12En=2+3∗12+⋯+k∗12k−2下减上En=2+12+14+⋯+12k−2−k∗12k−1=3\begin{aligned} En &= 2*\frac{1}{2}+3*\frac{1}{4}+\dots+k*\frac{1}{2^{k-1}} \\ 2En&= 2+3*\frac{1}{2}+\dots+k*\frac{1}{2^{k-2}} \\ 下减上 \quad En &= 2 +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{k-2}} - k*\frac{1}{2^{k-1}} = 3 \end{aligned} En2En下减上En=2∗21+3∗41+⋯+k∗2k−11=2+3∗21+⋯+k∗2k−21=2+21+41+⋯+2k−21−k∗2k−11=3

递推的方法

将E2E_2E2记为看到两名所用的平均次数，将E1E_1E1记为看到一面所用的平均次数
E2=12(1+E1)+12(1+E1)\begin{aligned} E_2 &= \frac{1}{2}(1+E_1) + \frac{1}{2}(1+E_1) \\ \end{aligned} E2=21(1+E1)+21(1+E1)
其中前一个12(1+E1)\frac{1}{2}(1+E_1)21(1+E1)表示第一次投到正面所需的平均次数(这个E1E_1E1表示投到反面所需的平均次数)，后一个12(1+E1)\frac{1}{2}(1+E_1)21(1+E1)表示第一次投到反面所需的平均次数(这个E1E_1E1表示投到正面所需的平均次数)；

而E1E_1E1如果表示投到反面所需的平均次数
E1=12+12(1+E1)E_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1+E_1) E1=21+21(1+E1)
其中前一个12\frac{1}{2}21表示第一次就投到反面，后一个12E1\frac{1}{2} E_121E1表示第一次投到正面；

可以从中解出
E1=2E2=3E_1 = 2 \\ E_2 = 3 E1=2E2=3

回到骰子问题

如果对于骰子仍采用一般解法，那会非常复杂；故采取递推方式
E6=16(1+E5)+⋯+16(1+E5)=(1+E5)E5=16(1+E5)+56(1+E4)=65+E4E4=26(1+E4)+46(1+E3)=64+E3E3=36(1+E3)+36(1+E2)=63+E2E2=46(1+E2)+36(1+E1)=62+E1E1=56(1+E1)+16\begin{aligned} E_6 &= \frac{1}{6}(1+E_5) + \dots + \frac{1}{6}(1+E_5) \\ &=(1+E_5) \\ E_5 &= \frac{1}{6}(1+E_5) + \frac{5}{6}(1+E_4) \\ &=\frac{6}{5} + E_4 \\ E_4 &= \frac{2}{6}(1+E_4) + \frac{4}{6}(1+E_3) \\ &=\frac{6}{4} + E_3 \\ E_3 &= \frac{3}{6}(1+E_3) + \frac{3}{6}(1+E_2) \\ &=\frac{6}{3} + E_2 \\ E_2 &= \frac{4}{6}(1+E_2) + \frac{3}{6}(1+E_1) \\ &=\frac{6}{2} + E_1 \\ E_1 &= \frac{5}{6}(1+E_1) + \frac{1}{6} \\ \end{aligned} E6E5E4E3E2E1=61(1+E5)+⋯+61(1+E5)=(1+E5)=61(1+E5)+65(1+E4)=56+E4=62(1+E4)+64(1+E3)=46+E3=63(1+E3)+63(1+E2)=36+E2=64(1+E2)+63(1+E1)=26+E1=65(1+E1)+61

解得
E1=6E6=1+65+64+63+62+6E_1 = 6 \\ E_6 = 1 + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + 6 \\ E1=6E6=1+56+46+36+26+6

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