1. 复数的定义

1.1. 背景

在实数范围内，当c<0c<0c<0，二次方程x2=cx^2=cx2=c无解，为此需要进一步扩充数集，复数就是在这样的背景下产生的

1.2. 定义

规定−1-1−1的一个平方根为−1\sqrt{-1}−1，习惯上记−1=i\sqrt{-1}=i−1=i，称为虚数单位
对实数x,yx,yx,y，形如x+iyx+iyx+iy的数称为复数
两个复数x1+iy1和x2+iy2x_1+iy_1和x_2+iy_2x1+iy1和x2+iy2称为相等的，当且仅当x1=x2且y1=y2x_1=x_2且y_1=y_2x1=x2且y1=y2
由全体复数构成的集合记为C\bold CC
对复数z=x+iy(x,y∈R)z=x+iy(x,y\in R)z=x+iy(x,y∈R)，称xxx为zzz的实部，记作RezRe zRez，称yyy为zzz的虚部，记作ImzIm zImz。特别，若x=0且y≠0x=0且y\ne0x=0且y=0，则z=iyz=iyz=iy，称为纯虚数

2. 复数的四则运算

对复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2z1=x1+iy1,z2=x2+iy2，规定z1z_1z1与z2z_2z2的四则运算如下：

加法
z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2)\begin{aligned} z_1+z_2&=(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)\\ &=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \end{aligned} z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2)
减法
z1−z2=(x1+iy1)−(x2+iy2)=(x1−x2)+i(y1−y2)\begin{aligned} z_1-z_2&=(x_1+iy_1)-(x_2+iy_2)\\ &=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2) \end{aligned} z1−z2=(x1+iy1)−(x2+iy2)=(x1−x2)+i(y1−y2)
乘法
z1⋅z2=(x1+iy1)⋅(x2+iy2)=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)\begin{aligned} z_1·z_2&=(x_1+iy_1)·(x_2+iy_2)\\ &=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1) \end{aligned} z1⋅z2=(x1+iy1)⋅(x2+iy2)=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)
除法
z1z2=x1+iy1x2+iy2=(x1+iy1)(x2−iy2)(x2+iy2)(x2−iy2)=x1x2+y1y2x12+x22+ix2y1−x1y2x12+x22\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\\ &=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}\\ &=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_1^2+x_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1^2+x_2^2} \end{aligned} z2z1=x2+iy2x1+iy1=(x2+iy2)(x2−iy2)(x1+iy1)(x2−iy2)=x12+x22x1x2+y1y2+ix12+x22x2y1−x1y2

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【复变函数与积分变换】第1章复数——1.1 复数的定义及其四则运算

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