AcWing 1148. 秘密的牛奶运输

题目描述：

农夫约翰要把他的牛奶运输到各个销售点。

运输过程中，可以先把牛奶运输到一些销售点，再由这些销售点分别运输到其他销售点。

运输的总距离越小，运输的成本也就越低。

低成本的运输是农夫约翰所希望的。

不过，他并不想让他的竞争对手知道他具体的运输方案，所以他希望采用费用第二小的运输方案而不是最小的。

现在请你帮忙找到该运输方案。

注意：

如果两个方案至少有一条边不同，则我们认为是不同方案；
费用第二小的方案在数值上一定要严格大于费用最小的方案；
答案保证一定有解；
输入格式
第一行是两个整数 N,M，表示销售点数和交通线路数；

接下来 M 行每行 3 个整数 x,y,z，表示销售点 x 和销售点 y 之间存在线路，长度为 z。

输出格式
输出费用第二小的运输方案的运输总距离。

数据范围
1≤N≤500,
1≤M≤104,
1≤z≤109,
数据中可能包含重边。

输入样例：
4 4
1 2 100
2 4 200
2 3 250
3 4 100
输出样例：
450

思路：
首先用克鲁斯卡尔得到最小生成树，然后讲树边标记为used。用树边建图（add）。
用dfs得到每两个点之间最长的边和次长的边（严格次长）。
遍历每一个used过的边，设改边的两端为a,b。试图找到 d i s t 1 [ a ] [ b ] 或 d i s t 2 [ a ] [ b ] − w dist1[a][b]或dist2[a][b]-w dist1[a][b]或dist2[a][b]−w 最小的一组边。
为什么是dist1或dist2呢？
dist1代表的是a,b之间最长的一条边的长度，dist2代表的是a，b之间次长的一条边的长度，而且是严格次长。（都是非树边）
如果a,b之间的树边的长度小于a,b之间非树边中最长的一条边的长度，那么将该树边替换成这条非树边。
但是有一种情况就是a,b之间的树边的长度等于a,b之间非树边中最长的一条边的长度，那么此时若仍执行上述步骤，就会导致得到的新的生成树的总和和原来不变，并不是严格的次小生成树。
故此时就需要使用次长边来进行替换，这样就可以得到严格次小生成树。
缺点：
这是一种朴素做法，时间复杂度 n 2 n^2 n2，并且点的数量不能太多，否则会爆内存。进一步优化可以用到lca
代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
int e[N], w[N], ne[N], h[N], idx = 0;
int fa[N];
int dist1[505][505],dist2[505][505];
struct Edge
{int u, v, w;bool used;bool operator< (const Edge& t) const{return w < t.w;}
}edge[N];
int find(int x)
{if (x == fa[x]){return x;}else{return fa[x] = find(fa[x]);}
}
void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b;w[idx] = c;ne[idx] = h[a];h[a] = idx++;
}
void dfs(int u, int Fa, int max1, int max2, int d1[], int d2[])
{d1[u] = max1;d2[u] = max2;for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (j != Fa){int td1 = max1;int td2 = max2;if (w[i] > max1){td2 = td1;td1 = w[i];}else if (w[i] > td2 && w[i] < td1){td2 = w[i];}dfs(j, u, td1, td2, d1, d2);}}
}
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);for (int i = 0; i < m; i++){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;edge[i] = { a,b,c,false };}sort(edge, edge + m);for (int i = 0; i < 505; i++){fa[i] = i;}long long sum = 0;for (int i = 0; i < m; i++){int u = edge[i].u;int v = edge[i].v;int w = edge[i].w;int pa = find(u);int pb = find(v);if (pa != pb){fa[pa] = pb;edge[i].used = true;sum += w;add(u, v, w);add(v, u, w);}}for (int i = 1; i <= n; i++){dfs(i, -1, -1e9,-1e9,dist1[i], dist2[i]);}long long res = 1e18;for (int i = 0; i < m; i++){if (!edge[i].used){int a = edge[i].u;int b = edge[i].v;int w = edge[i].w;if (w > dist1[a][b]){res = min(res, sum - dist1[a][b] + w);}else if(w == dist1[a][b] && w > dist2[a][b]){res = min(res, sum - dist2[a][b] + w);}}}cout << res;
}

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