前言

在准备数学竞赛时，对多元函数微分学部分的基础概念一直存有困惑，从学数分期间至今一直没有解决，希望趁着竞赛的机会彻底弄明白这些数学概念的具体意义
本人非数学专业学生，下文重在理解而非严谨证明

理解一元函数微分

请注意，下文的趋近是一个过程，而不是一个状态

一元函数f(x)在x = a可微，即指f(x)在x = a点的切线g(x)距离实际值 f(a) 即x = a附近的实际值足够接近，以至于当x无限趋近于a时，可以用g(x)来拟合f(x)的实际值
同理，二元函数f(x, y)在(a, b)可微，即指f(x, y)在(a, b)点的切面g(x, y)距离实际值 f(a, b) 即(a, b)附近的实际值足够接近，以至于当(x, y)无限趋近于(a, b)时，可以用g(x, y)来拟合f(x, y)的实际值
当我们在证明一个函数可微时，关键是从定义出发，证明可微的本质，即对于一元函数而言，证明该点的切线与该点及其附近的实际值足够接近，以至于该切线可以拟合该点，二元函数同理
那么，如何衡量足够接近？
数学上的方式是：对于一元函数，若x无限趋近于x = a点时，x = a处的切线g(x)与实际值f(x)的差值是x变化量的高阶无穷小，则说明g(x)与f(x)足够接近，可以用切线拟合实际值，即

f(x)=g(x)+o(Δx)f(x) = g(x) + o(\Delta x)f(x)=g(x)+o(Δx)

设g(x)的斜率为f’(a)。由于我们考察的是x = a以及该点附近的拟合情况，故Δx\Delta xΔx应当是在x=a附近的变化量。即在x在x = a附近变化时，｜f(x)的变化量 - g(x)的变化量｜应当是x的变化量的高阶无穷小

f(x)−f(a)=f′(a)Δx+o(Δx)f(x) - f(a) = f'(a)\Delta x + o(\Delta x)f(x)−f(a)=f′(a)Δx+o(Δx)

注意，此时导数是假想出来的，可微才存在导数（斜率）。此处尚未证明可微。

limΔx−>0f(x)−f(a)Δxlim_{\Delta x -> 0} \frac {f(x) - f(a)}{\Delta x}limΔx−>0Δxf(x)−f(a)
=f′(x)+limΔx−>0o(Δx)/Δx= f'(x) + lim_{\Delta x -> 0} o(\Delta x)/\Delta x=f′(x)+limΔx−>0o(Δx)/Δx

易知，上述等式中等式右端最后一项为0与可微是充要条件。
通过该等式既证明了可微，又求出了导数值（极限存在，极限值）
上图中，dx dy表示拟合值，Δx,Δy\Delta x, \Delta yΔx,Δy表示实际值，可微的本质就是∣Δy−dy∣|\Delta y - dy|∣Δy−dy∣是dx=Δxdx = \Delta xdx=Δx的高阶无穷小

理解二元函数微分与全微分

首先，如何描述一个三维坐标轴中的平面？
给定一个平面中的某一点 (x0, y0, z0) ，以及该面的一个法向量 (A,B,C)，则该面可以用 面上的任意一条向量和该法向量垂直 这样的数学含义来描述，即

(A,B,C)⋅(x−x0,y−y0,z−z0)(A, B, C) · (x-x_0, y-y_0, z-z_0)(A,B,C)⋅(x−x0,y−y0,z−z0)
=AΔx+BΔy+CΔz=0= A\Delta x + B\Delta y + C\Delta z = 0=AΔx+BΔy+CΔz=0

注意这里是点乘运算，(x, y, z)是平面上的任意一点

根据前文描述的二元函数微分的本质，在(x0, y0)及其附近，可以用该点的切面拟合实际值，也就是需要该点及其附近的实际值与拟合值的差值是自变量变化量的高阶无穷小，即

o((Δx2+Δy2)1/2)o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2})o((Δx2+Δy2)1/2)

那么，如何得到该点的切面方程呢？
容易证明（略），两个向量：

v1=(1,0,δzδx∣x0,y0)v1 = (1, 0, \frac {\delta z}{\delta x}|_{x0, y0})v1=(1,0,δxδz∣x0,y0)
v2=(0,1,δzδy∣x0,y0)v2 = (0, 1, \frac {\delta z}{\delta y}|_{x0, y0})v2=(0,1,δyδz∣x0,y0)

两个向量所确定的面是该点的切面
根据线性代数的相关技巧（略），与两个向量同时垂直的法向量应当是：

v3=(δzδx∣x0,y0,δzδy∣x0,y0,−1)v3 = (\frac {\delta z}{\delta x}|_{x0, y0}, \frac {\delta z}{\delta y}|_{x0, y0}, -1)v3=(δxδz∣x0,y0,δyδz∣x0,y0,−1)

从对一元函数可微的讨论中我们知道，Δy\Delta yΔy是实际值的变化量，而dydydy是拟合值的变化量，实际值和拟合值可以相等。切面是f(x, y)的拟合工具，故对切面的描述应该使用拟合值对应的符号，即：

v3⋅(dx,dy,dz)=0v3 · (dx, dy, dz) = 0v3⋅(dx,dy,dz)=0
δzδxdx+δzδydy−dz=0\frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy - dz = 0δxδzdx+δyδzdy−dz=0
δzδxdx+δzδydy=dz\frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy = dzδxδzdx+δyδzdy=dz

其中，若认为z是曲面上在该点附近的实际值，z’是在切面上该点附近的拟合值，则Δz=z−z0,dz=z′−z0\Delta z = z-z_0, dz = z' - z_0Δz=z−z0,dz=z′−z0。
除此之外，易知，dx=Δx,dy=Δydx = \Delta x, dy = \Delta ydx=Δx,dy=Δy
很好，现在我们已经得到切面方程了，这个方程和全微分方程一模一样，但它不一定就是全微分方程。如果它不满足我们上述描述的可微的实质，那么它就不是全微分方程，即全微分方程不存在，该二元函数不可微，则该切面方程只是一个长得和全微分方程一模一样的切面方程而已。
那么f(x, y)是否可微呢？我们需要证明最重要的一点：

Δz−dz=o((Δx2+Δy2)1/2)\Delta z - dz = o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2})Δz−dz=o((Δx2+Δy2)1/2)

这里不再继续写极限描述了，证明高阶无穷小即可

Δz=δzδxΔx+δzδyΔy+o((Δx2+Δy2)1/2)\Delta z = \frac {\delta z}{\delta x}\Delta x + \frac {\delta z}{\delta y}\Delta y + o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2})Δz=δxδzΔx+δyδzΔy+o((Δx2+Δy2)1/2)

总结

可微的实质很重要，竞赛中会遇到一些证明二元函数可微的题目。关键是要正确理解证明可微就是证明差值是自变量变化量的高阶无穷小
下一篇文章将继续解析如何理解方向导数与梯度？

微积分：如何理解多元函数可微和全微分？相关推荐

二元函数可微与可导的关系_如何理解多元函数可微与可偏导的关系？
原标题:如何理解多元函数可微与可偏导的关系? 谈到多元函数可微与可偏导时,相信不少人头皮有点发麻.一元函数中,可微与可导是等价的,但是在多元函数中,可微与可偏导之间的关系就没那么简单了,这是为什么呢? ...
可微偏导数一定存在_【数学】多元函数可微如何判断？
小可爱们,今天带大家学习多元函数可微相关知识. 高数上册讲过一元函数可导和可微互为充要条件, 那么在多元函数中微分和导数之间有什么关系呢? 先卖个关子,学完今天的知识你就知道了~ 1.全微分的定义 2 ...
为什么多元函数可微，偏导数不一定连续？【从一元函数和多元函数类比的角度】
问题多元函数可微,偏导数连续在网上并没有看到比较直观的理解,因此这里提出一个和一元函数类比的理解,如有不对,恳请指正. 一元函数一元函数在某点可微,指的是该点的导数存在,然而并不能保证导数连续. ...
深入理解分布式、微服务中CAP定律和BASE理论
一.背景随着互联网的快速蔓延,各种传统项目(单体应用的架构)已经不能够满足当前各种复杂的需求场景,都逐渐向分布式服务.微服务做转换,而如今分布式.微服务架构已经普遍存在互联网公司的项目中,像大型电商 ...
理解 SOA和微服务架构
网上有个小段子,专门比较SOA和微服务架构区别的,相比其他抽象的解释,更让人容易理解.我把其他人的一些解释合并一下罗列如下: A:菜菜哥,我最近需要做一个项目,老大让我用微服务的方式来做 B:那挺好呀 ...
二元函数连续与偏导数存在的关系_怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系...
展开全部多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件.62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306464 而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续 ...
深入理解分布式技术 - 微服务为什么需要API 网关
文章目录概 Case 网关的优缺点优点缺点微服务网关选型 Spring Cloud Zuul Spring Cloud Gateway 小结概这里我们来讨论下为什么微服务需要 API 网关 ...
springcloud 熔断不生效_深入理解SpringCloud与微服务构建
目录一.SpringCloud微服务技术简介二.开发框架SpringBoot 三.服务注册和发现Ereka 四.负载均衡五.申明式调用六.熔断器七.路由网关八.配置中心九.服务链路追踪 ...
Maki微积分习题集理解摘记
2.反三角函数与后两个三角函数的复合运算如下图先证明第一题: 过程如下
【机器学习微积分】09 多元函数的极值（中）：最速下降法
我们这一讲将要介绍的最速下降法,是梯度法的一种改进实现. 1.SymPy库的介绍在具体进行算法介绍之前,我们先花一点时间来专门谈谈 p y t h o n python python的 S y

微积分：如何理解多元函数可微和全微分？

文章目录

前言

理解一元函数微分

理解二元函数微分与全微分

总结

微积分：如何理解多元函数可微和全微分？相关推荐

最新文章

热门文章