torch tensor去掉1维_代数拓扑笔记(1) —

这个系列的笔记讲讲代数拓扑。

1.1 胞腔复形

胞腔复形可能是我现在学到的代数拓扑中最重要的研究对象，因为从胞腔复形可以构造出很多常见的拓扑空间，这些空间在有了胞腔复形结构之后，我们可以有更多的方法去研究他们，比如 Van Kampen 定理去计算连通胞腔复形的基本群时，只用考虑其二维骨架，或者通过特殊的胞腔复形去计算单纯同调群等。

首先得定义两个拓扑空间的拓扑和：

Definition 1.1.1 拓扑和 任给两个拓扑空间

，他们的无交并

上可以定义拓扑

，称

为原先两个拓扑空间的拓扑和。

以前我们学过从两个拓扑空间构造新拓扑空间的乘积拓扑，事实上如果取投影映射

，两个拓扑空间的拓扑和与乘积拓扑是等价的，算是看事物的两个不同方面。

Definition 1.1.2 胞腔复形 归纳的定义胞腔复形

，其

维骨架记作

：

(1)

是具有离散拓扑的集合，其元素称为

维胞腔；

(2) 从

构造

：将任意多个

维胞腔粘合到

上，其过程为，将

维圆盘

通过粘合映射

粘到

上，从而

是拓扑和

的商空间，其等价关系

为

；

(3) 每个胞腔的闭包，只与有限多个胞腔相交；

(4) 在

上定义弱拓扑：

的子集

为开集（闭集）当且仅当

是

的开集（闭集）。

注：

(3) (4) 要求闭包有限 (Closure finite) 与弱拓扑 (Weak topology) 是对有无穷多个胞腔时的要求，在有限个胞腔的情况时，我们指的拓扑就是商拓扑，此时胞腔复形的商拓扑就满足弱拓扑的定义，弱拓扑的条件是多余的，没必要复杂化。这也是胞腔复形为什么被称为CW复形的原因；

定义

特征映射：

，这个映射做的事情就是把圆盘

的边界粘合到原本的

上，再复合到

中，我们所说的

维胞腔 指的是

，也就是将圆盘粘合上去之后，原本圆盘的内部对应的部分，所以胞腔可以同胚的视作

维欧氏空间里的开圆盘，

维胞腔就是单点，特征映射只要求存在，不要求唯一；

在 (2) 中列举的只是粘合上一个

维胞腔的情况，我也可以粘合无穷多个胞腔，但要注意的是他们都是粘合到

维骨架

，不能在

维胞腔上再粘

维胞腔；

闭集

称为

的

子复形，如果

是

中若干胞腔的并；

胞腔复形的结构，一般可记为：

对有限个胞腔构成的，称为

有限维胞腔复形，其欧拉示性数为

Property 1.1.3 陈述一些胞腔复形

的性质：

(1)

是 Hausdorff 的；

(2)

是闭的

是闭的。因此由商映射的定义知，

是

的商空间，并且我要看一个集合是开集还是闭集，只需要考虑他与每个胞腔的交集在该胞腔中是开还是闭；

(3) 闭集

紧致

包含于

的有限胞腔子复形。特别的

紧致当且仅当

是有限胞腔复形；

(4)

有可缩邻域基

局部道路连通

道路连通等价于

连通。

由 (4) 我们自然有了一个不是胞腔复形的例子，

因为他连通，但不道路连通。

从以上性质可以看到

是 Hausdorff 的，且由欧氏空间中的开圆盘粘成，所以胞腔复形应该有和拓扑流形相似的性质，事实上：

每个紧致拓扑流形都同伦等价于一个胞腔复形，但反之胞腔复形不必须是流形；

对任意拓扑空间

，都存在胞腔复形

，二者弱同伦等价，且

在同伦等价的意义下是唯一的。

上述命题也说明了胞腔复形可以构造出的空间是相当广泛的。以上结论都可以在蛤车的 Chapter 0 或者附录或者姜伯驹《同调论》胞腔同调一章中找到。

1.2 胞腔复形的例子

胞腔就很像是拓扑里的积木，

维胞腔是单点，

维胞腔是去掉端点的线段，

维胞腔是开圆盘，

维胞腔是开球，以此类推。

Example 1.2.1 一维胞腔复形

这里特别的举个例子说明在无穷多个胞腔的时候，弱拓扑和一般的欧式拓扑的子空间是有区别的。我们从欧氏空间的子空间和胞腔复形两个角度去考虑如下几何上相同的图形：

首先在欧式空间中，上图由圆周

并起来得到，记作

此时可以取到一列

逼近于

，使得原点

是

的聚点。

再考虑胞腔复形结构

，也就是原点

是

维胞腔

，其上粘贴了可数无穷多个一维胞腔

，在每一个一维胞腔上取一点，得到点列

，此时我们的拓扑是弱拓扑，用上述的性质 (2)，

限制在零维胞腔上是空集，限制在每一个一维胞腔上是单点，因此

本身就是

中的闭集，因此原点

不是任何点列的聚点，由此我们知道这两个拓扑是不同的。

上述的相切圆周

称为夏威夷耳环 (Hawaiian Earring)，并且它有同胚等价的表述

，则

，这个空间的一维同调群并非阿贝尔自由群，而是所谓的 torsion free，具体参见下文：

The Singular Homology of the Hawaiian Earring.web.math.rochester.edu

Example 1.2.2 二维胞腔复形

以圆环

为例，我们知道它的多边形表示：

对边同方向粘合，右边矩形的四个顶点粘成同一个点，在左图中就是两个相交的圆周，其余的曲面部分，对应右图中剖去边界中心的开正方形，所以

有胞腔复形结构，一个

，两个

，一个

粘合得到，这里

是按照多边形表示来粘合到一维胞腔上，比如已经有了一维骨架

，将

从左图左下角打点处逆时针按照

的顺序粘合到

上，就得到了左图。

类似的对于多个亏格的二维可定向闭曲面，我们都可以把他分成单独圆环粘合在一起，由此得到多边形表示：

比方说下图亏格为

的可定向闭曲面，我们可以从右图看到其胞腔结构，一个

，六个

，一个

，所以他的欧拉示性数

，类似的我们知道，亏格为

的可定向闭曲面，其欧拉示性数为

对于亏格为

的不可定向曲面

，可视作由莫比乌斯带拼成，将莫比乌斯带的多边形表示沿对角线剪开，可知其等价于一个三角形的两边同方向（比如逆时针）粘合，因此我们可以写出

的多边形表示。一个莫比乌斯带有一个亏格和一条边，因此

由一个

，

个

，一个

构成，所以

Example 1.2.3

维胞腔复形

维球面

的胞腔复形结构是

；

维实射影空间：

类似的

维复射影空间

有胞腔复形结构：

，Van Kampen 定理告诉我们对于胞腔复形只用考虑其二维骨架的基本群，因此

对

则由覆叠空间知其基本群为

参考：

[1] 厦门大学刘文飞老师讲义.

[2] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

[3] 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997.

[4] 姜伯驹，《同调论》，北京大学出版社，2006.

torch tensor去掉1维_代数拓扑笔记(1) —— 胞腔复形相关推荐

torch tensor去掉1维_浑身是刺的“维c之王”，有人管它叫“菠萝”，有人管它叫“梨”...
世界之大无奇不有,各种各样的水果你一定吃过不少.菠萝,梨,香蕉,苹果,橙子,柠檬,猕猴桃--但是你吃过一种浑身长满刺,有人管它叫"菠萝",又有人管它叫"梨"的水 ...
torch tensor去掉1维_维E、激光都不是祛黄褐斑的好方法，坚持4件事，黄褐斑自动远离...
点击上方每日护肤小常识免费订阅! 觉得文章实用.对自己有帮助或者能够影响到身边的朋友,可以收藏起来或者转给朋友们,让更多人知晓.每日护肤小常识让你每天都美美哒,青春永驻!喜欢我可以guanzhu我获取 ...
torch tensor去掉1维_自制番茄酱，只加糖是不对的，牢记1点技巧，番茄酱沙甜更好吃...
导语:家常自制番茄酱,10分钟做3瓶,无添加更放心,沙甜好吃还健康番茄自带酸甜的口感,深得家里大小朋友的喜欢,当然了番茄酱更是我家中不可少的,做菜的时候加上点番茄酱,孩子吃饭便能特别香,以往我经常会 ...
torch tensor去掉1维_脸颊两侧长斑的原因把脸上的斑去掉小窍门4个
脸颊两侧长斑会使女人的美大打折扣,这些斑点不仅关乎颜值问题,还存在很大的健康隐患,脸上小小的斑点,却是女人大大的烦恼,脸颊两侧长斑的原因都有哪些呢?有了这些坏习惯一定要提早避开,快来看看自己有么有这些 ...
torch tensor去掉1维_南昌清污机新价格表1_海腾水工
南昌清污机新价格表1,应用中,应停止机械零件,停止防锈处理,定期在停水面涂抹黄油,开关发生某些异常,立即暂停,及时检查. 开闭时,请注意活塞的上下限位置,以免挡板和卷扬机损坏. 起重机中铸铁闸门的日常 ...
PyTorch 笔记（02）— 常用创建 Tensor 方法（torch.Tensor、ones、zeros、eye、arange、linspace、rand、randn、new）
1. Tensor 概念分类 PyTorch 中的张量(Tensor)类似 NumPy 中的 ndarrays,之所以称之为 Tensor 的另一个原因是它可以运行在 GPU 中,以加速运算. 1.1 ...
torch.Tensor常用数据操作汇总与自动求梯度
在深度学习中,通常会频繁地对数据进行操作,在PyTorch中,torch.Tensor是存储和变换数据的主要工具(Tensor和NumPy的多维数组非常类似,Tensor提供GPU计算和自动求梯度等更 ...
pytorch 定义torch类型数据_PyTorch官方中文文档：torch.Tensor
torch.Tensor torch.Tensor是一种包含单一数据类型元素的多维矩阵. Torch定义了七种CPU tensor类型和八种GPU tensor类型: Data tyoe CPU te ...
Pytorch中的 torch.Tensor() 和 torch.tensor() 的区别
直接在搜索引擎里进行搜索,可以看到官方文档中两者对应的页面: 分别点击进去,第一个链接解释了什么是 torch.Tensor: torch.Tensor 是一个包含单一数据类型元素的多维矩阵(数组). ...
PyTorch 1.0 中文文档：torch.Tensor
译者:hijkzzz torch.Tensor 是一种包含单一数据类型元素的多维矩阵. Torch定义了八种CPU张量类型和八种GPU张量类型: Data type dtype CPU tensor ...

torch tensor去掉1维_代数拓扑笔记(1) —— 胞腔复形

1.1 胞腔复形

1.2 胞腔复形的例子

torch tensor去掉1维_代数拓扑笔记(1) —— 胞腔复形相关推荐

最新文章

热门文章