Dijkstra算法步骤如下：

G={V,E}
1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中（每次从未被收录的顶点中选一个dist最小的收录（贪心））
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值

重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

可以得到证明的是：

若路径是按照递增（非递减）的顺序生成的，则

真正的最短路必须只经过S中的顶点

如果收录v使得s到w的路径变短，则s到w的路径一定经过v，并且v到w有一条边

增加一个v进入S，可能影响另一个w的dist值，w只可能是v一圈的点

下面我们对于下面的有权图举个例子

邻接矩阵的Dijkstra算法实现

下面是伪代码描述以及矩阵的初始化

其函数的C语言描述如下

/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点。  */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法。*/
/* 例如对有权图, 如果不存在的边被初始化为INFINITY, 则函数实现如下:         */
bool IsEdge(MGraph Graph, Vertex V, Vertex W)
{return Graph->G[V][W] <INFINITY ? true : false;
}/*邻接矩阵储存——有权图的单源最短路算法*/
Vertex FindMinDist(MGraph Graph) {/*返回未被收录顶点中的最小dist者*/Vertex MinV, V;int MinDist = INFINITY;for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {if (Visited[V] == false && dist[V] < MinDist) {/*若V未被收录，且dist[V]更小*/MinDist = dist[V];/*更新最小距离*/MinV = V;/*更新最小顶点*/}}if (MinDist < INFINITY)/*若找到最小dist*/return MinV;/*返回对应的顶点下标*/else return ERROR;/*若这样的顶点不存在，返回错误标记*/
}/* dist[]和path[]为全局变量，已经初始化为-1 */
bool Dijkstra(MGraph Graph, Vertex S)
{   /* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */Vertex V, W;/*初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示*/for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {dist[V] = Graph->G[S][V];if (dist[V] < INFINITY)path[V] = S;elsepath[V] = -1;Visited[V] = false;}/*先将起点收入集合*/dist[S] = 0;Visited[S] = true;while (1){/*找到未被收入顶点中dist最小者*/V = FindMinDist(Graph);if (V == ERROR)/*若这样的V不存在*/break;//算法结束Visited[V] = true;//收录Vfor (W = 0; W < Graph->Nv; W++)//对图中每个顶点Wif (Visited[W] == false && Graph->G[V][W] < INFINITY) {//若W未被收录并且是V的临近点if (Graph->G[V][W] < 0)//若有负边return false;//不能正确解决，返回错误标记if (dist[V] + Graph->G[V][W] < dist[W])//若收录V使得dist[W]变小{dist[W] = dist[V] + Graph->G[V][W];//更新dist[W]path[W] = V;//更新S到W的路径}}}/*while结束*/return true;/*算法执行完毕，返回正确标记*/
}

执行结果嘿嘿，当然没毛病咯

和我们通过肉眼看的结果一样一样的

附上完整代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>        #define ERROR 0
#define INFINITY 65535        /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
#define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */int Visited[MaxVertexNum];
int dist[MaxVertexNum];
int path[MaxVertexNum];/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {int Nv;  /* 顶点数 */int Ne;  /* 边数   */WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */MGraph CreateGraph(int VertexNum)
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */Vertex V, W;MGraph Graph;Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */Graph->Nv = VertexNum;Graph->Ne = 0;/* 初始化邻接矩阵 *//* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */for (V = 0; V<Graph->Nv; V++)for (W = 0; W<Graph->Nv; W++)Graph->G[V][W] = INFINITY;return Graph;
}void InsertEdge(MGraph Graph, Edge E)
{/* 插入边 <V1, V2> */Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;/* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> *///Graph->G[E->V2][E->V1] = 1;
}/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点。  */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法。*/
/* 例如对有权图, 如果不存在的边被初始化为INFINITY, 则函数实现如下:         */
bool IsEdge(MGraph Graph, Vertex V, Vertex W)
{return Graph->G[V][W] <INFINITY ? true : false;
}/*邻接矩阵储存——有权图的单源最短路算法*/
Vertex FindMinDist(MGraph Graph) {/*返回未被收录顶点中的最小dist者*/Vertex MinV, V;int MinDist = INFINITY;for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {if (Visited[V] == false && dist[V] < MinDist) {/*若V未被收录，且dist[V]更小*/MinDist = dist[V];/*更新最小距离*/MinV = V;/*更新最小顶点*/}}if (MinDist < INFINITY)/*若找到最小dist*/return MinV;/*返回对应的顶点下标*/else return ERROR;/*若这样的顶点不存在，返回错误标记*/
}/* dist[]和path[]为全局变量，已经初始化为-1 */
bool Dijkstra(MGraph Graph, Vertex S)
{   /* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */Vertex V, W;/*初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示*/for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {dist[V] = Graph->G[S][V];if (dist[V] < INFINITY)path[V] = S;elsepath[V] = -1;Visited[V] = false;}/*先将起点收入集合*/dist[S] = 0;Visited[S] = true;while (1){/*找到未被收入顶点中dist最小者*/V = FindMinDist(Graph);if (V == ERROR)/*若这样的V不存在*/break;//算法结束  Visited[V] = true;//收录V  for (W = 0; W < Graph->Nv; W++)//对图中每个顶点W  if (Visited[W] == false && Graph->G[V][W] < INFINITY) {//若W未被收录并且是V的临近点  if (Graph->G[V][W] < 0)//若有负边  return false;//不能正确解决，返回错误标记  if (dist[V] + Graph->G[V][W] < dist[W])//若收录V使得dist[W]变小  {dist[W] = dist[V] + Graph->G[V][W];//更新dist[W]  path[W] = V;//更新S到W的路径  }}}/*while结束*/return true;/*算法执行完毕，返回正确标记*/
}int main() {MGraph Graph = CreateGraph(7);Graph->Ne = 12;Vertex a[12] = { 0,0,1,1,2,2,3,3,3,3,4,6 };Vertex b[12] = { 1,3,3,4,0,5,2,4,5,6,6,5 };WeightType w[12] = { 2,1,3,10,4,5,2,2,8,4,6,1 };/* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */for (int i = 0; i<Graph->Ne; i++) {Edge E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */E->V1 = a[i]; E->V2 = b[i]; E->Weight = w[i];/* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */InsertEdge(Graph, E);}for (int i = 0; i < MaxVertexNum; i++) { Visited[i] = false; dist[i] = INFINITY; path[i] = -1; }Dijkstra(Graph, 0);int i = 0;for (int i = 0; i < Graph->Nv; i++) {printf("点%d到点1的最小距离是：%d  上一步结点是：%d\n", i + 1, dist[i], path[i] + 1);}system("pause");
}

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