概念系列1：标准差标准误

自说自话：本博主觉得学不好这个知识是因为概念的别名太多辽哈哈哈（标准差的名称有 10 余种，如总体标准差、母体标准差、均方根误差、均方根偏差、均方误差、均方差、单次测量标准差和理论标准差等¹）

标准差&标准误

标准差

标准差（Standard Deviation）是是随机误差绝对值的统计均值，标准差的定义式为

σ=1N∑i=1N(xi−μ)2\sigma = \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}σ=N1i=1∑N(xi−μ)2

但这个式子其实只有理论上的意义，μ\muμ 实际上是无法计算出来的。所以，一般是用样本参数来估计总体的参数，即用样本标准差 sss 的值作为总体标准差 σ\sigmaσ 的估计值。

s=1n−1∑i=1N(xi−xˉ)2s= \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2}s=n−11i=1∑N(xi−xˉ)2

当 n→∞,s→σn \rightarrow \infty, s \rightarrow \sigman→∞,s→σ。

标准差的作用是反映一个样本或者一个总体里的个体之间区别有多大，如果不能理解这句解释，没关系！还有几个解释，总有一款适合你：

标准差 === 一次抽样中个体分数间的离散程度，反映了个体分数对样本均值的代表性，用于描述统计²
表示个体间变异大小的指标，反映了整个样本对样本平均数的离散程度，是数据精密度的衡量指标
…

众所周知，不整例子就不算接地气的解释，那就走一个，比如我们有总体是1、2、3、4、5、6、7、8、9和10，总体平均数是5.5，样本标准差为

s=110[(1−5.5)2+⋯+(10−5.5)2]s = \sqrt{\frac{1}{10}[(1-5.5)^2+\cdots+(10-5.5)^2]}s=101[(1−5.5)2+⋯+(10−5.5)2]

标准差就是一组数据的每一个数与该组数据的平均值比较，通过标准差可以看出这组数据的离散程度。

标准误

标准误（Standard Error of Mean）是在重复抽样中，每次抽出的样本的平均数所计算得到的标准差。标准误的全名其实是样本平均数的标准误，它的理论公式是

σxˉ=σn\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}σxˉ=nσ

和总体标准差不能直接计算一样，我们也是习惯去用样本标准误来接近这个理论值

sxˉ=sns_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}sxˉ=ns

当 n→∞,sxˉ→σxˉn \rightarrow \infty, s_{\bar{x}} \rightarrow \sigma_{\bar{x}}n→∞,sxˉ→σxˉ。

咋个理解呢？标准误的作用从一个总体里取样本，样本之间的区别有多大。还有几个其他的理解：

标准误 === 多次抽样中样本均值间的离散程度，反映了样本均值对总体均值的代表性，用于推论统计²
反映样本平均数对总体平均数的变异程度，从而反映抽样误差的大小
…

来来来，举例举例：比如我们有总体是1、2、3、4、5、6、7、8、9和10，总体平均数是5.5。第一次对总体进行抽样，可能得到 5、8、3、25、8、3、25、8、3、2 平均数是 4.5；第二次对总体进行抽样，得到 3、7、9、23、7、9、23、7、9、2 平均数 5.25；第三次对总体抽样，得到 4、6、9、2、4、14、6、9、2、4、14、6、9、2、4、1 平均数为 4.3，⋯\cdots⋯ 那么，4.5， 5.25 ，4.3 ⋯\cdots⋯ 组成一个新分布，这是一个以样本平均数为分布的，这个分布的标准差就是标准误³。

两个概念的比较

随着样本数（或测量次数）nnn 的增大，标准差趋向某个稳定值，即样本标准差 sss 越接近总体标准差 σ\sigmaσ。

而标准误则随着样本数（或测量次数）nnn 的增大逐渐减小，即样本平均数越接近总体平均数 μ\muμ。

故在实验中也经常采用适当增加样本数（或测量次数）nnn 减小 sxˉs_{\bar{x}}sxˉ 的方法来减小实验误差，但样本数太大意义也不大。

标准差是最常用的统计量，一般用于表示一组样本变量的分散程度；标准误一般用于统计推断中，主要包括假设检验和参数估计，如样本平均数的假设检验、参数的区间估计与点估计等。

标准差与标准误既有明显区别，又密切相关：标准误是标准差的 1n\frac{1}{n}n1；二者都是衡量样本变量（观测值）随机性的指标，只是从不同角度来反映误差；二者在统计推断和误差分析中都有重要的应用。

参考资料

郝拉娣，《标准差与标准误》，编辑学报http://image.sciencenet.cn/olddata/kexue.com.cn/upload/blog/file/2010/12/20101226211028645.pdf ↩︎
知乎：包寒吴霜——统计学上标准差与标准误的区别与联系是什么？https://www.zhihu.com/question/22864111 ↩︎ ↩︎
知乎：高翠林——standard deviation 和standard error的区别，能讲的通俗些吗？https://www.zhihu.com/question/21925923 ↩︎