概率论与数理统计——随机事件及其概率

文章目录

随机事件及其运算
- 1.随机事件的相关概念
- 2.事件的关系及运算（ ⊂、⊃、∩、U、=）
- 3.事件的运算律
- 4.部分结论的应用
随机事件的概率
- 复习一些关于排列组合的公式
- 1.概率的统计定义
- 2.概率的公理化定义
- 3.古典概型
- 4.几何概型
概率的基本运算法则
- 1.概率的性质
- 2.条件概率
- 3.乘法公式
全概率公式和贝叶斯公式
- 1.完备事件组
- 2.全概率公式
- 3.贝叶斯公式
独立性
- 1.两事件相互独立
- 2.n个事件相互独立
- 3.重复独立试验

随机事件及其运算

1.随机事件的相关概念

(1)随机试验 在概率论中将具备下列三个条件的试验称为随机试验，简称试验：
·在相同条件下可重复进行；
·每次试验的结果具有多种可能性；
·在每次试验之前不能准确预言该次试验将出现何种结果,但是所有结果明确可知；
(2)样本空间 随机试验的所有可能结果构成的集合，常用Ω表示。
(3)随机事件 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，常用A，B，C，D表示。
(4)基本事件 不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件（也叫做样本点）。
(5)必然事件 每次试验中一定发生的事件，常用Ω表示。
(6)不可能事件 每次试验中一定不发生的事件，常用∅表示。

2.事件的关系及运算（ ⊂、⊃、∩、U、=）

(1)包含 A发生必然导致B发生，则称B包含A（或A包含于B），记为B⊃A(或A⊂B)。
(2)相等若A⊃B且B⊃A，则称A与B相等，记为A=B。
(3)事件的和 A与B至少有一个发生,称为A与B的和（并）事件，记为AUB。
(4)事件的积 A与B同时发生，称为A与B的积（交）事件，记为A∩B(或AB)。
(5)事件的差 A发生而B不发生，称为A与B的差事件，记为A-B。
(6)互斥事件 在试验中，若事件A与B不能同时发生，即A∩B=∅,则称A、B为互斥事件（不相容事件），反之不互斥（相容）。
(不相容事件)

(7)对立事件 在每次试验中，“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件。
A的对立事件常记为Aˉ\bar{A}Aˉ（读作“A拔”）

ps：一次试验中互斥的两个事件可能都不发生，但对立的两个事件必然其中发生一个

3.事件的运算律

(1)交换律 AUB=BUA,AB=BA.
(2)结合律 (AUB)UC=AU(BUC), (A∩B)∩C=A∩(B∩C).
(3)分配律 (AUB)C= (AC)U(BC),AU(BC) =(AUB)(AUC).
(4)摩根律 AUB‾\overline{AUB}AUB=Aˉ\bar{A}Aˉ∩Bˉ\bar{B}Bˉ, A∩B‾\overline{A∩B}A∩B=Aˉ\bar{A}AˉUBˉ\bar{B}Bˉ.（长杠变短杠，开口变方向）（对偶律、德·摩根律）

4.部分结论的应用

(1)A=AB+ABˉ\bar{B}Bˉ,AB与ABˉ\bar{B}Bˉ不相容;

(2)当A,B互不相容时，A-B=A;AB=∅;(A+B)-B=A;

(3)当B⊂A时，A+B=A;AB=B;(A-B)+B=A;

(4)A-B=A-AB=ABˉ\bar{B}Bˉ

随机事件的概率

复习一些关于排列组合的公式

阶乘

排列数公式

组合数公式

1.概率的统计定义

在相同的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动.且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A).

2.概率的公理化定义

2.设Ω是一样本空间,称满足下列三条公理的集函数P(·)为定义在Ω上的概率：
（1）非负性对任意事件A,P(A)≥0；
（2）规范性 P(Ω)=1；
（3）可列可加性若两两互不相容的事件列{An}是可列的,则

事件和的概率等于事件的概率和

3.古典概型

具有以下两个特点的试验被称为古典概型

（1）每次试验只有有限种可能的结果。（有限性）
（2）每次试验中，各基本事件出现的可能性完全相同。（等可能性）

对于古典概型，事件A发生的概率为

P(A)=A中基本事件数/Ω中基本事件数=n(A)/n

计算古典概率P(A)的关键是找出A中的基本事件数，常用排列组合来处理，有时候也可以直接使用列举法

4.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。

对于几何概型，事件A发生的概率为

P(A)=A的测度（长度、面积、体积）/样本空间的测度（长度、面积、体积）

根据题意建立正确的几何概型，需要对题意进行几何化，通过分析图像来得到概率公式所需要的数据

概率的基本运算法则

1.概率的性质

（1）对任何事件A,0≤P(A)≤1

（2）P(Ω)=1,P(∅)=0

（3）设A为任一随机事件，则P(Aˉ\bar{A}Aˉ)=1-P(A)

（4）设A⊂B,则P(B-A)=P(B)-P(A)

（5）设事件A1,A2,···,An两两互斥，则 P(A1+A2+···+An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An)

（6）设A，B为任意两个随机事件，则 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
上式还能推广到n个事件的情况。例如，设A1,A2,A3为任意三个事件，则有
P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A2A3)-P(A1A3)+P(A1A2A3)

2.条件概率

在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，称为事件B在给定条件A下的条件概率，记作P(B|A)。

P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(A)>0

3.乘法公式

设A,B是任意两个随机事件，P(A)>0,P(B)>0,则

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，P(A)>0

一般地，设A1,···,An是n个随机事件，且P(A1···An-1)>0，则

P(A1···An)
=P(An|A1···An-1)P(A1···An-1)
=P(An|A1···An-1)···P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)

全概率公式和贝叶斯公式

1.完备事件组

设Ω为试验的样本空间，B1,B2,···,Bn为试验的一组事件，若有
（1）BiBj=∅（i≠j;i,j=1,2,···,n）
（2）B1∪B2∪···∪Bn=Ω
则称B1,B2,···,Bn为Ω的一个分划或完备事件组。（无交，并全）

由定义可见，若B1,B2,···,Bn为Ω的一个分划，则在一次试验中，B1,B2,···,Bn必有且仅有一个发生

2.全概率公式

设事件B1,B2,···,Bn是样本空间Ω的一个分划，P(Bi)>0(i=1,2,···,n),A试验的任一事件，则有

P(A)=P(A)=P(A)=∑i=1n\sum_{i=1}^{n}∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)P(A|Bi)P(Bi)P(A∣Bi)

推导： P(A)
=P(A∑i=1n\sum_{i=1}^{n}∑i=1nBi)
=P(∑i=1n\sum_{i=1}^{n}∑i=1nABi)
=∑i=1n\sum_{i=1}^{n}∑i=1nP(ABi)
=∑i=1n\sum_{i=1}^{n}∑i=1nP(Bi)P(A|Bi) （乘法公式）

3.贝叶斯公式

设事件B1,B2,···,Bn是样本空间Ω的一个分划，P(Bi)>0(i=1,2,···,n)，A为试验的任一事件。且P(A)>0,则有

P(Bi∣A)P(Bi|A)P(Bi∣A)=P(Bi)P(A∣Bi)∑j=1nP(Bj)P(A∣Bj)\frac{P(Bi)P(A|Bi)}{\sum_{j=1}^{n}P(Bj)P(A|Bj)}∑j=1nP(Bj)P(A∣Bj)P(Bi)P(A∣Bi)(i=1,2,⋅⋅⋅,n)(i=1,2,···,n)(i=1,2,⋅⋅⋅,n)

推导： P(Bi|A)
=P(ABi)/P(A) （乘法公式）
=P(Bi)P(A|Bi)/∑j=1n\sum_{j=1}^{n}∑j=1nP(Bj)P(A|Bj) （全概率公式，乘法公式）

独立性

1.两事件相互独立

如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，也就是P(A|B)=P(A)，则称事件A对于事件B相互独立，若A对于B独立，则B也对于A独立，那么就称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。

基本性质：
（1）A与B独立<=>P(AB)=P(A)P(B) （充要条件）
（2）若A与B独立，则A与Bˉ\bar{B}Bˉ、Aˉ\bar{A}Aˉ与B、Aˉ\bar{A}Aˉ与Bˉ\bar{B}Bˉ中每一对事件都相互独立

2.n个事件相互独立

n（n>2）个事件A1,A2,···,An中任意一个事件发生的可能性都不受其他一个或多个事件发生与否的影响，则称A1,A2,···,An相互独立。

基本性质：
（1）如果事件A1,A2,···,An相互独立，则对于任意k（1<k≤n）和任意1≤i1<i2<···<ik≤n，P(Ai1Ai2···Aik)=P(Ai1)P(Ai2)···P(Aik)成立
（2）如果事件A1,A2,···,An相互独立，则将A1,A2,···,An中任意多个事件换成它们的逆事件，所得n个事件仍相互独立
（3）如果事件A1,A2,···,An相互独立，则 P(∑i=1nAi)=1−∏i=1nP(Aiˉ)P(\sum_{i=1}^{n}Ai)=1-\prod_{i=1}^{n}P(\bar{Ai})P(∑i=1nAi)=1−∏i=1nP(Aiˉ)

3.重复独立试验

相同条件下，在n次试验中，若任意一次试验的结果都与其它次结果相互独立，则称这n次试验为重复独立试验或独立试验序列。

（1）伯努利概型：假定一次试验中只有事件A发生或Aˉ\bar{A}Aˉ发生，每次试验结果与其它次结果无关，这样的n次重复试验成为伯努利试验或伯努利概型

（2）二项概型公式：设一次试验中事件A发生的概率为p（0<p<1），则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为

Pk=Cnkpkqn−k,k=0,1,⋅⋅⋅,nP_{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,···,nPk=Cnkpkqn−k,k=0,1,⋅⋅⋅,n，其中q=1−p.q=1-p.q=1−p.

注：处理问题重点是要明确事件A，且根据已知条件明确事件A的概率p

相互对立则两两独立
多个事件中，两两独立和相互独立是容易混淆的
例：有事件A,B,C,D

事件A,B,C,D两两独立的条件是
P(AB)=P(A)P(B) P(AD)=P(A)P(D)
P(AC)=P(A)P(C ) P(BD)=P(B)P(D)
P(BC)=P(B)P(C ) P(CD)=P( C)P(D)

事件A,B,C,D相互独立的条件是
P(ABCD)=P(A)P(B)P( C)P(D)