数据结构之图论算法（五）——关键路径（Dijkstra算法与Floyd算法）

最短路径

1.最短路径问题

一般是求带权有向图G = （V，E）中的一个或多个点到G中其他各个点的最短路径。

源点：路径上的第一个顶点
终点：最后一个顶点

求解方法：

单源点最短路径——迪杰斯特拉（Dijkstra）算法
多源点最短路径——佛洛伊德（Floyd）算法

2.Dijkstra算法

——从一个指定给源点到图上其余各点的最短路径

【思路】按路径长度递增的次序产生最短路径

引进一个辅助向量D，每个分量D[i]表示当前所找到的起始点v到每个终点vi的最短路径的长度。
（类比于最小生成树中的closedge数组的使用，每次纳入一个点都更新一次数组，只不过closedge是整个连通分量到其他顶点最短距离，现在是起点V₀到其他各个顶点的最短距离）

初始状态：D[ 0 ] = arcs[ v ][ vi ]，S = { v }
选取当前最短路径：D[ j ] = Min { D[ i ] | vi ∈ V-S}，vj就是当前求得的一条从v0出发的最短路径的终点，令S = S U { vj }
更新从v到V-S上任一顶点vk的当前最短路径长度： D[ k ] = Min { D[ k ]，D[ j ] + arcs[ vj ][ vk ] }
重复执行2、3共n-1次

算法满足最优子结构原则

图示如下：

该思想可以表示成下列伪代码：

 清除所有点的标号            //这些点的标号使用来表示两点间的距离是否已经算过，//如果标记了就说明算过了，没有标记就要重新计算//这样一来可以避免重复计算，提高效率设d[0] = 0，其他d[i] = INF;循环n次{在所有未标号结点中，选出d值最小的结点x；给结点x标记；对于从x出发的所有边(x, y)，更新d[y] = MIN{d[y], d[x]+w[x,y]};  //w[x,y]的值点x和y之间的权值}

代码实现如下：
（图的实现形式：二位数组）

void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, PathMartrix &P, int &D){int i, v, w;Status final[MAX_VERTEX_NUM];//final[v]为TRUE当且仅当v∈S，即已经球的从v0到v的最短距离//1.初始化，把任意两点间距离距离都算作无穷大，而且现在done全部为FALSE;//2.设定初始状态for(v = 0;v < G.vexnum; v++){final[v] = FALSE;        //表示v0和vi点间的最短距离并没有找到（vi中包括v0）distance[v] = G.arcs[v0][v].adj;   //各点和v0的距离放入时时变化的distance数组中distance[v0] = 0;final[v0] = TRUE;    //还要考虑边界因素，从v0到v0，distance[v0] = 0,也就是相当于找到了从v0到v0的最短距离了，所以final[v0] = 0;//开始主循环，每次求得v0到vi的最短距离，就把vi并入S集合中（初始状态时，S = {v0}）for(i = 1; i < G.vexnum; i++){int min = INFINITY;   //min表示当前所知离v0顶点的最近距离（现在是对v0的初始化）for(w = 0; w < G.vexnum; ++w){if(!final[w])    //v0到w点的最短距离没找到，即点w不在S集合中if(distance[w] < min){v = w; min = distance[w];}//说明w里v0点更近}final[v] = TRUE;  //循环一边之后，就找到了min距离对应的点//选完点后修改distance数组for(w = 0; w < G.vexnum; w++){if(!final[w]&&((min+G.arcs[v][w].adj)<distance[w])){//看是原来的小还是纳入点后新的通路距离小，如果新点与其他点没有路径，就是INFINITYdistance[w] = min + G.arcs[v][w].adj;}}}}
}

3.Floyd算法

typedef int PathMartrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef int ShortPathTable[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];void ShortestPath_FLOYD(MGraph G){int v, w, k;PathMartrix p;     //二维数组。用来描绘路径，比如ShortPathTable D;    //二维数组，表示出了所有边的大小（所两点之间不存在边，就把边的weight设置成infinty）//初始化：for(v = 0; v < G.vexnum; v++){for(w = 0; w < G.vexnum; v++){D[v][w] = G.arcs[v][w].adj;p[v][w] = w;}}//算法思想：两点之间的原来距离会不会因为加入一个点而减少，如果会，就改变两点之间的最小距离，而且加入的点可以不止一个，可以有n个（包括那两个点本身也是可以的）for(k = 0; k < G.vexnum; k++){      //假设点k为v、w两点之间的插入点for(v = 0; v < G.vexnum; v++){      for(w = 0;w < G.vexnum; w++){if(D[v][w] > D[v][k] + D[k][w]){D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];   //若原先的距离大于插入点后的距离，就改变最小距离的值p[v][w] = p[v][k];       //}}}}//路径打印for(v = 0; v < G.vexnum; v++){for(w = v+1; w < G.vexnum; w++){printf("\nV%d-->V%d weight:%d\n", v, w, D[v][w]);k = p[v][w];printf("Path:V%d", v);while(k != w){printf("-->V%d", k);k = p[k][w];}printf("-->%d", w);}}}

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