连续型随机变量及其分布

2024-06-27 21:32:38

1. 分布函数(概率累加和)

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x)=P{X≤x}F(x)=P\{X\leq x\}F(x)=P{X≤x}, −∞<x<+∞-\infty \lt x \lt +\infty−∞<x<+∞
称为XXX的分布函数。
F(x)F(x)F(x)的基本性质：

F(x)F(x)F(x)是个不减函数
0≤F(x)≤10 \leq F(x) \leq 10≤F(x)≤1且
F(−∞)=lim⁡x→0F(x)=0F(- \infty)={\lim_{x \to 0}}F(x)=0F(−∞)=x→0limF(x)=0F(∞)=lim⁡x→∞F(x)=1F( \infty)={\lim_{x \to \infty}}F(x)=1F(∞)=x→∞limF(x)=1

2. 概率密度（面积为概率）

分布函数F(x),存在非负函数f(x)f(x)f(x)，使对于任意实数xxx有F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt，则称XXX为连续型随机变量，其中函数f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数（概率密度）
性质：
1. f(x)≥0f(x)\geq 0f(x)≥0
2. ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1
3. 对于任意实数x1,x2(x1≤x2)x_1,x_2(x_1 \leq x_2)x1,x2(x1≤x2)
P{x<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dxP\{x \lt X \leq x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dxP{x<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx
4. 若f(x)f(x)f(x)在点xxx处连续，则有F′(x)=f(x)F^{'}(x)=f(x)F′(x)=f(x)

3. 分布

均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)={1b−aa<x<b0其他f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a}&a \lt x \lt b \\ 0& 其他 \end{cases}f(x)={b−a10a<x<b其他
则称XXX在区间(a,b)(a,b)(a,b)上服从均匀分布，记为X∼U(a,b)X\sim U(a,b)X∼U(a,b)
指数分布
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)={1θe−x/θx>00其他f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}&x \gt 0 \\ 0& 其他 \end{cases}f(x)={θ1e−x/θ0x>0其他
其中θ>0\theta>0θ>0为常数，则称X服从参数为θ\thetaθ的指数分布
正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)=12πσe−(x−u)22σ2，−∞<x<∞f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}}，-\infty \lt x \lt \inftyf(x)=2πσ1e−2σ2(x−u)2，−∞<x<∞
其中u,σ(σ>0)u,\sigma(\sigma>0)u,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为u,σu,\sigmau,σ的正态分布（高斯分布），记为X∼N(u,σ2)X \sim N(u,\sigma^2)X∼N(u,σ2)

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