陈越《数据结构》第六讲 图（上）
6.1 什么是图
6.1.1 定义
- 图示表示“多对多”的关系（树与线性表都可以认为是其特殊形式）；
- 图包含：
- 一组顶点 \color{red}{一组顶点}：通常用 V V(Vertex) 表示顶点集合；
- 一组边\color{red}{一组边}：通常用 E E(Edge) 表示边的集合;
— 边是顶点对：(v,w)∈E(v,w)\in{E}，其中 v,w∈V v,w\in{V} ;
— 又向边 <v,w> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7"> </script>表示从 v v指向ww的边（单行线）；
— 不考虑重边与回路。
6.1.2 抽象数据类型
6.1.3 常见术语
无向图 \color{red}{无向图}：无向图中顶点之间的边无方向性，边 (w,v) (w,v)同 (v,w) (v,w);
有向图 \color{red}{有向图}：有向图中顶点之间的边有方向性，边 <w,v> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-14"> </script>不同 <v,w> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-15"> </script>;
简单图 \color{red}{简单图}：图中出现重边，则称之为非简单图；
邻接点 \color{red}{邻接点}：如果 (v,w) (v,w)是无向图中任意一条边，那么称 v v和ww互为“邻接点”；如果 <v,w> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-21"> </script>是有向图中任意一条边，那么称 v v邻接到终点ww，也称 w w邻接自终点vv。
有向完全图 \color{red}{有向完全图}：一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称“有向完全图”；一个含有 n n个顶点的有向完全图中，共有n(n−1)/2n(n-1)/2条边。
稠密图、稀疏图 \color{red}{稠密图、稀疏图}：一个图的”稠密度“定义为平均顶点度 2|E|/|V| \color{red}{2|E|/|V|}；稠密图可定量地定义为 “平均顶点度与顶点数量|V|成正比的图” “\color{red}{平均顶点度与顶点数量|V|成正比的图}”。
权、网络 \color{red}{权、网络}：边上附加一个数值信息我们称之为权；边上带权的图称为网图或“网络”。
- 顶点的度、入度、出度 \color{red}{顶点的度、入度、出度}：顶点 v v的度是指依附于该顶点的边数。在有向图中，顶点的度分为出度和入度。
6.1.4 怎么在程序中表示一个图
1.邻接矩阵\color{red}{邻接矩阵}
优势：
- 直观、简单、好理解；
- 方便检查任意一对顶点间是否存在边；
- 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）；
- 方便计算任一顶点的“ 度 \color{red}{度}”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）；
– 无向图：对应行（或列）非0元素的个数；
– 有向图：对应行非0 元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”。劣势：
- 浪费空间（特别是稀疏图）；
- 浪费时间 （例如：统计稀疏图中一共有多少条边）。
2. 数组 \color{red}{数组}
用一个长度为N(N+1)/2 的1 维数组A存储； {G00,G10,G11,……,G(n−1)0,…,G(n−1)(n−1)} \{G_{00} ,G_{10} ,G_{11} ,……,G_{(n-1)0} ,…,G_{(n-1)(n-1)} \}，则 Gij G_{ij} 在A 中对应的下标是：
i∗(i+1)/2+j \color{red}{i*(i+1)/2+j}
对于 网络 \color{red}{网络} ，只要把 G[i][j] G[i][j] 的值定义为边 <vi,vj> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-43"> </script>的权重即可。
3. 邻接表 \color{red}{邻接表}
- 方便找任一顶点的所有“邻接点”;
- 节约 稀疏图 \color{red}{稀疏图}的空间；
– 需要 N N个头指针 + 2E2E个结点（每个结点至少 2 2个域）。- 方便计算任一顶点的“度\color{red}{度}”？
– 对无向图：是的；
– 对有向图：只能计算“出度”；需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）来方便计算“入度”。- 方便检查任意一对顶点间是否存在边？（ No \color{red}{No}）
用一维数组G[ ]存储有4个顶点的无向图如下：
G[]=0,1,0,1,1,0,0,0,1,0 G[ ] = { 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0 }则顶点2和顶点0之间是有边的。(对或错？)
答：对，记得从0开始计数，运用数组的公式 i∗(i+1)/2+j \color{red}{i*(i+1)/2+j}。用邻接表表示有 N N个顶点、EE条边的图，则遍历图中所有边的时间复杂度为： O(N+E) O(N+E)。
6.2 图的遍历
6.2.1 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）
类似于树的先序遍历 \color{red}{类似于树的先序遍历}
若有 N N个顶点、EE条边， 时间复杂度 \color{red}{时间复杂度}是：
- 用邻接表存储图，有 O(N+E) O(N+E);
- 用邻接矩阵存储图，有 O(N2) O(N^2);
6.2.2 广度优先搜索 (Breadth First Search, BFS)
类似于树的层序遍历 \color{red}{类似于树的层序遍历}
若有 N N个顶点、EE条边， 时间复杂度 \color{red}{时间复杂度}是：
- 用邻接表存储图，有 O(N+E) O(N+E);
- 用邻接矩阵存储图，有 O(N2) O(N^2)。
6.2.3 DFS和BFS的优点和缺点
BFS \color{red}{BFS}:一种基于队列这种数据结构的搜索方式，它的特点是由每一个状态可以扩展出许多状态，然后再以此扩展，直到找到目标状态或者队列中头尾指针相遇，即队列中所有状态都已处遍历完毕。
- 优点：对于解决最短或最少问题特别有效，而且寻找深度小;
- 缺点：内存耗费量大，需要开辟大量的数组单元用来存储状态。DFS \color{red}{DFS}：基于递归的搜索方式，它的特点是由一个状态扩展到另外一个状态，然后不停地扩展，直到找到目标或者无法继续到另一个状态。
- 优点：占内存少，对于解决连通性性问题比较有效，能找到最优解（一定条件下），但能很快找到接近解；
- 缺点：可能不必遍历所有分枝（也就是速度快），在深度很大的情况下效率不高。
6.2.4 图不连通怎么办？
- 连通 \color{red}{ 连通}：如果从 V V到WW存在一条（无向）路径 ，则称V 和W 是连通的。
- 路径 \color{red}{路径}： V V到WW的路径是一系列顶点 {V,v1,v2,…,vn,W} \{V, v_1 , v_2 , …,v_n , W\}的集合，其中任一对相邻的顶点间都有图中的边。 路径的长度 \color{red}{路径的长度}是路径中的边数（如果带权，则是所有边的权重和）。如果 V V到WW之间的所有顶点都不同，则称之间的所有顶点都不同，则称 简单路径 \color{red}{简单路径}。
- 回路 \color{red}{回路}：起点等于终点的路径。
- 连通图 \color{red}{连通图}：图中任意两顶点均连通。
- 连通分量 \color{red}{连通分量}：无向图的 极大 连通子图
- 极大顶点数：再加1个顶点就不连通了；
- 极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边。
- 强连通 \color{red}{强连通}：有向图中顶点 V V和WW之间存在双向路径，则称 V V 和WW是强连通的。
- 强连通图 \color{red}{强连通图}：有向图中任意两顶点均强连通。
- 强连通分量 \color{red}{强连通分量}：有向图的极大强连通子图。
打印每个连通图：
6.3
/*
queue 模板类的定义在<queue>头文件中。
与stack 模板类很相似，queue 模板类也需要两个模板参数，一个是元素类型，一个容器类
型，元素类型是必要的，容器类型是可选的，默认为deque 类型。
定义queue 对象的示例代码如下：
queue<int> q1;
queue<double> q2;queue 的基本操作有：
入队，如例：q.push(x); 将x 接到队列的末端。
出队，如例：q.pop(); 弹出队列的第一个元素，注意，并不会返回被弹出元素的值。
访问队首元素，如例：q.front()，即最早被压入队列的元素。
访问队尾元素，如例：q.back()，即最后被压入队列的元素。
判断队列空，如例：q.empty()，当队列空时，返回true。
*/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include "queue"
using namespace std;
int M[10][10]; //存储图的矩阵；
bool visited[10]; //看图中的每个节点是否访问过;
int result[10]; //存放结果的矩阵；
int vertex,ridge; //顶点和边
int k; //计每一个邻接表存储的结果
void DFS(int x)
{
/*深度搜索*/int i;result[k++] = x;visited[x] = true;for(i = 0;i < vertex; i++){if(M[x][i] == 1 && !visited[i])/*是否有边；是否访问过*/DFS(i);}
}void BFS(int x)
{int i;queue<int> q;q.push(x);visited[x] = 1;result[k++] = x;while (!q.empty()) {int l = q.front();q.pop(); for ( i = 0; i < vertex; i++) {if (M[l][i] == 1 && !visited[i]) {/*是否有边；是否访问过*/visited[i] = 1;result[k++] = i;q.push(i);}}}
}int main()
{int i,j,m,n;cin>>vertex>>ridge;/*初始化*/memset(visited,0, sizeof(visited)); //visited数列全部为0for(i = 0;i < vertex;i++){for(j = 0; j < ridge; j++){M[i][j] = 0;}}while(ridge--){cin>>m>>n;M[m][n] = 1;M[n][m] = 1;}/*开始进行深度搜索*/for(i = 0;i < vertex;i++ ){k = 0;if(!visited[i]){DFS(i);cout<<"{ ";for(j = 0;j < k;j++)cout<<result[j]<<" ";cout<<"}"<<endl;}}/*开始进行广度搜索*/memset(visited, 0, sizeof(visited));for ( i = 0; i < vertex; i++){k = 0;if (!visited[i]) {BFS(i);cout << "{ ";for ( j = 0; j < k; j++)cout << result[j] << " ";cout << "}" << endl;}}//system("pause");return 0;
}6.4
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
/*邦德*/
using namespace std;
const int inf=1<<30;
struct node
{double x,y;
} a[100+5];
int n,vis[100+5],b[100+5],ans[100+5],cnt;
double d,ansfirst,nowfirst;
int dis(node d1,node d2)
{if(d*d<(d1.x-d2.x)*(d1.x-d2.x)+(d1.y-d2.y)*(d1.y-d2.y)) return 0;return 1;
}
int first(int d1)
{if(sqrt(a[d1].x*a[d1].x+a[d1].y*a[d1].y)>d+7.5) return 0;else return 1;
}double first1(int d1)
{return sqrt(a[d1].x*a[d1].x+a[d1].y*a[d1].y)-7.5;
}
int safe(node d1)
{if(d1.x>=50-d) return 1;if(d1.y>=50-d) return 1;if(d1.x<=-50+d) return 1;if(d1.y<=-50+d) return 1;return 0;
}
void dfs(int d1,int now)
{int i;if(safe(a[d1])){//printf("%d %.2f\n",now,nowfirst);if(now<cnt){for(i=0; i<now; i++)ans[i]=b[i];cnt=now;ansfirst=nowfirst;}else if(now==cnt&&ansfirst>nowfirst){for(i=0; i<now; i++)ans[i]=b[i];cnt=now;ansfirst=nowfirst;}return ;}else{for(i=1; i<=n; i++){if(!vis[i]&&dis(a[d1],a[i])){vis[i]=1;b[now]=i;dfs(i,now+1);vis[i]=0;}}}return;
}
int main()
{int i;while(~scanf("%d%lf",&n,&d)){a[0].x=a[0].y=0;for(i=1; i<=n; i++){scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);}if(d+7.5>=50){printf("1\n");return 0;}ansfirst=(double)inf;cnt=inf;memset(ans,0,sizeof(ans));for(i=1; i<=n; i++){memset(vis,0,sizeof(vis));if(!vis[i]&&first(i)){nowfirst=first1(i);if(safe(a[i])){if(ansfirst>nowfirst){ans[0]=i;cnt=1;ansfirst=nowfirst;}}vis[i]=1;memset(b,0,sizeof(b));b[0]=i;dfs(i,1);}}if(cnt==inf) printf("0\n");else{printf("%d\n",cnt+1);for(i=0; i<cnt; i++){printf("%.0f %.0f\n",a[ans[i]].x,a[ans[i]].y);}}}return 0;
}6.5
/* 题意： 找到一个图中每个节点通过最多5条边 能找到的所有节点 然后输出百分比思路：广搜 记录层数为6以内的所有节点本题的关键在于 如何记录节点当前的层数 1. 引入2个变量 last tail 分别指向 当前层数的最后一个元素 和 下一层的最后一个元素 2. 若当前出队的元素与last相等 则说明即将进入下一层 将last更新为tail 更新tail 重复~~知道level = 6 或者队列空
*/
/*6度空间*/
#include "iostream"
#include "stdio.h"
#include "queue"
using namespace std;
bool map[10001][10001] = {false};
int n, m;
int Count;
void bfs(int x) {bool visited[10001] = { false };queue<int>q;q.push(x);visited[x] = true;int level = 0; /* 记录层数 */int last = x; /* 记录当前层数的最后一个元素 */int tail; /* 指向下一层最后一个元素 */while (!q.empty()) {x = q.front();q.pop();for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!visited[i] && map[x][i] == 1) {q.push(i); /* 进队 */Count++;visited[i] = true;tail = i;}}if (last == x) {level++;last = tail;}if (level == 6)break;}
}
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) { int k, l;cin >> k >> l;map[k][l] = 1;map[l][k] = 1;}for (int i = 1; i <=n; i++) { /* 对于所有节点 做bfs() */Count = 1;bfs(i);cout << i << ": ";float answer = (float)Count / n * 100;printf("%.2f%%\n", answer);}return 0;
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