四色问题的一个简单解

多年前写的1篇文章，无杂志肯发表，所以今天贴在这，供感兴趣的朋友，特别是做图形的朋友参考：

四色问题的一个简单解

提要：四色问题困扰了人类很多年。本文根据平面封闭图形两两相邻的可能性，结合奇偶排列，给出了此问题的一个初等解法，并指出需进一步研究的是国中国。希望有识之士能从中受到启发，考虑问题时能找到新的视点。

关键词：四色问题，周边区域，奇偶数

0 引言：四色问题题目是很简单的：在地图上的国家能否用四种颜色来充填，并使相邻的国家不重色。就是这个简单的题目，困扰了人类很多年，结果是于1976年靠大型计算机给出了解答。虽然答案是肯定的，却一直没有适当的数学证明。虽然也有人称给出了证明，但用的都是图论等高等理论^[1][2]，一般人不好理解。受七桥问题的启发^[3]，本文用初等数学的方法，给出了一个简单解。注意：在提出这个问题的时代，还没有现在的这些高等数学理论。也就是说，这个问题用初等数学的方法应该是可解的。

1 基本解答

1.1 基本图形

地图上的任何一个国家与邻国的关系，相当于一个任意封闭图形，被其周边区域的其它封闭图形环绕。在边界附近，相当于边界线被短线进行任意不同的分割（如图1），分割的各小段边界线代表环绕的不同国家的一部分，总数有奇、偶2种可能。如果填以不同的颜色来区分，考虑到使用的颜色数最少，可以采用奇偶排列的方式：其本身占用一种颜色1，偶数2、奇数3分别代表另外的两种颜色。从某个环绕的封闭图形开始充填（比如上部的封闭图形2），用颜色2和3按奇偶交替的方式充填。如果周边封闭图形（即国家）为偶数个，三种颜色即可（如图1.a）；如果周边封闭图形为奇数个，须增加另外一种颜色4来补充，共需四种颜色（如图1.b）。

a 外围国家偶数个 b 外围国家奇数个

图1外围国家的填色

1.2 2级图形

对于2级封闭图形（如图2的阴影部分），其部分周边区域已经填色（3，1，4），我们称其为内邻区域。其它周边区域皆空白，我们称为外邻区域。其外邻区域与内邻区域中的1级封闭图形已经完全分开（如图2.a中的封闭图形1）。其实，上级封闭图形被环绕填色后，相当于被封闭，与任何其它未填色的封闭图形都已经完全分开。

a 2级封闭图形的内邻区域 b 2级封闭图形外邻区域的填色

图2 2级封闭图形的填色

2级封闭图形外邻区域的填色，我们参照1级封闭图形的周边区域填色方案，只是：内邻区域已经填色，填色时受到部分限制；周边空白区域非环形，变为相当于弧状分布的外邻区域，填色只有从弧形一端开始才合理。

2级封闭图形外邻区域的填色，有以下2种可能：

1、对于颜色最多的部位——只可能是1级封闭图形外邻区域填色时的尾端，当1级封闭图形的外邻区域边界（空白处）总数为奇数时加用了补充颜色，才会用到4种颜色。如图2中阴影部分的封闭图形2（其邻近的封闭图形4、封闭图形4一侧的封闭图形3都相同），我们选内邻区域最末两端封闭图形的颜色（3和4）为基本的奇偶充填颜色，从弧形一端（右下、逆时针）、按奇偶方式充填。

如果其外邻区域的弧形边界线被分割为奇数（如图2.b），在最末端处，需要另一种颜色来补充。因为1级封闭图形已经与本封闭图形的外邻区域完全分开，可以使用它的颜色（如图2.b中的颜色1）。对本次奇偶填色操作而言，它是备用的补充颜色。

如果其外邻区域的弧形边界线被分割为偶数，用2种颜色（3和4）即可充填完毕，不需要备用的1级封闭图形的颜色。

2、在其它部位，由于任意一个2级封闭图形的内邻区域两端处封闭图形的颜色相同，但都与1级封闭图形不同，而1级封闭图形与外邻区域已经完全分开，我们可选内邻区域一端处封闭图形的颜色和1级封闭图形的颜色作为基本的充填颜色，对空白的外邻区域进行奇偶交替充填。另一种颜色作为备用的补充颜色——以使用颜色数最少为原则。

图4 3级封闭图形

及其内外邻区域

如果外邻区域的边界弧段被分割为偶数，可以正常填充结束（见图3下部）；如果为奇数，在最后，须用备用颜色补充，与图2.b类似(边界加一短线即可，未图示)，只是补充颜色应为颜色4。

图3 其它部位的2级封闭图形

当然，实际填色时，各个2级封闭图形应该按照顺序，不能有跳跃。图3只是为了说明内邻区域两端颜色相同时的填色方法。

1.3 3级（及以下）图形

图5 n+1级封闭图形的填色示意

对于3 级（及以下）的封闭图形，其内邻区域、外邻区域的情况与2级封闭图形完全相同（见图4上部），其充填方法可以递推下去。

假设n级封闭图形的外邻区域已经填色完成（如图5中左下方的封闭图形3），即对于n+1级图形，此填色方法仍然成立（如图5中阴影部分，图形4）：

如图5中阴影部分，内邻区域两端的颜色相同（皆为1），取上级和一端的颜色3和1，从左上开始，顺时针做奇偶交替充填，最后需使用备用色2。即填入3-1-3-1-3-2。

同样，对于n+2级图形，阴影部分右上侧图形3，可填入4-1-4。

在填图时，可以从整幅地图的中部开始，周圈地向外扩散。这样，任何一个刚刚填色的封闭图形，其空白的外邻区域边界线，都是一段连续的弧形边界，被短线分割成奇数或偶数段，按上述填色方法总能充填，直到图框，没有外邻为止。即整幅地图填色完毕。

2 解的讨论

2.1 上述解的依据

很明显，上述解答不尽完善。何以肯定其正确性？根据是：

平面上边数最少的封闭多边形是△，它形成一个封闭边界，将内、外两部分完全分开（图6.a）。将各边扩充为封闭图形，图中沿边扩充为近梯形的四边形（图6.b），当然可以变形，如双边变为弧形等（图6.c），还可以变化、扭曲为任意的不规则形状。但有一点是可以肯定的：

平面上最少需要3个封闭图形，它们两两相邻，会围成一个封闭的区域，将其与外部完全分开。

图6 基本图形

由此推出，平面上任意形状的封闭图形，能够两两相邻的最多只能是四个：三个两两相邻，加上其周边（内或外）的一个，与这3个两两相邻。对其周边或内部进行任意的划分，使图形增加，都不能形成五个两两相邻的封闭图形。图6.d、f中增加红线后形成的5个封闭图形，就不再两两相邻（d中下部与右上、左边与右下不相邻，f中1与3不相邻）。因为某三个封闭图形两两相邻形成的封闭边界，会把另外两个图形完全分离开。图6.e、f是简化形式，相当于3个相邻的边界封闭图形，只看到了内部区域边界处的一个角。其中，b和e是对应的。

既然平面上能够两两相邻的封闭图形最多只有四个，用颜色区分，四种就足够了。

2.2 有待研究的问题

2.2.1 解答不成立的条件

对于地图来说，如果要使此解答不成立，除非遇到这样的情况：某一个国家有“飞地”、“飞地”与本土必须用同一种颜色充填、本土与其周围的国家已经用了四种颜色，且填色进行到“飞地”周围时，“飞地”周围恰好包含其本土的颜色——这完全有可能，则“飞地”就不能正确填色了。实际地图上是否存在这样的“飞地”？“飞地”是否有必要与本土充填同一种颜色？本文不做解答。

2.2.2 国中国的情况

国中国的情况比较复杂：国中国可以分为2种情况，一种是内部国家被一个外部国家完全包围，一种是内部国家被若干个国家包围，可称为部分包围。

1、完全包围时，外部国家可以作为一个整体封闭图形考虑，没有问题。由于内部国家的外围必须用同一种颜色充填，内部的若干个处于外围边界处的国家可用的颜色只有三种。但不处最外围的国家，仍可以用第四种颜色。当内部国家很少时，比如3－5个，可以解决。如果有很多，根据上述解答，不能保证最外围国家只用3种颜色，所以，就无解。但至少在内部国家少于8个时，不论如何拼合，都是可以充填的。实际地图上，也没有这么多国中国。至于内部国家总数是多少？处于什么样的拼合状态，内部国家的颜色就不能充填？有待进一步研究。

2、部分包围时，如果被包围的只有一个国家，应该首先考虑外部国家统一填色，再考虑内部国家。例如把图5稍做修改，加一条曲线，将图形1变为国中国（图7.a），原来填色就不正确：红色线两端的两个封闭图形的颜色3相同且相邻。

正确的做法：遇到国中国时（图7.b中，阴影区的外邻，从左上开始填了3-1-3，遇到国中国），先考虑外部国家颜色，应为1，进行奇偶填色（图7.c），后填国中国的颜色，应该为颜色2。这时，需要用到奇偶交替色之外的补充颜色。

图7 遇到国中国时的填色

上述做法会不会遇到不能填色的情况？

一般情况下，部分包围的国中国，是某级图形的外部区域按奇偶顺序填色时，发现某个封闭图形（图8中空白的封闭图形）填色后，按奇偶顺序邻近它的下一个图形会绕过它的封闭边界，同时连接到填色顺序中的上一个图形和上一级图形（图8.a）；或者，同时连接到上

图8 部分包围国中国的基本图形

a b

一级图形（图8.b）。

可见，遇到部分包围的国中国时，它的全部外邻国家要么有3个，要么有2个，都已经填色，并且将它完全封闭。所以，至少可以用一种颜色对国中国进行充填。除此之外，就不必把它当国中国对待，至少处理当前图形的外邻区域时，不会发现它是国中国。可能处理下级图形时才会发现，那时再按国中国处理。

如果被包围的国中国不止1个（如图8中的国中国内部被短线分为若干部分，即：空白区域是若干个国家综合后形成的外围边界线），会怎么样？至少在内部国家少于5个时，都是可解的。实际地图上，也没有这么多嵌套的国中国。至于内部国家总数是多少？处于什么样的拼合状态，就不能充填？有待进一步研究。

2.2.3 海洋的填色

全世界的海洋是连在一起的，将各大洲包围起来，成为几个最大的完全包围国中国。所以，如果考虑将海洋填为1种颜色，各大洲的国家用3加1种颜色充填，理论上是不可能的，情况与完全包围的国中国完全相同。

图9 边界共点

2.2.4 边界共点

本文的边界共点，是指某个封闭图形的外部区域边界被短线分成若干段时，某些段的端点处不止1条短线，图9中A点有2条，B点有3条。分别在边界线处交与一点。填色时，不能按边界的分段，应该按短线分割区的顺序奇偶排列。这很容易理解。

3 结论

对四色问题，用边界的奇偶排列这一初等方法，对实际平面地图而言，应该已经解决。考虑球体表面时，如果将大洋作为边框，也能解决。因为实际地图上，国中国的个数毕竟是有限的少数。要想在理论上完美解决，需要对国中国进行深入研究。

参考文献

[1] 颜宪邦,屈姿朴.四色定理论证.航空计算技术[J],2003,33(2):55-59

[2] 何宗光,何宗明.四色定理的证明.中国教育与教学[J],2005,3(1):27-29

[3] 王刚.从欧拉解决七桥问题看数学问题解决方法.新乡师范高等专科学校学报[J],2005,19(2):121-122

A simple method to solve 4-color problem of a map

YANG Zhen-fa

(North China Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power, Zhenzhou 450011,China)

Abstract: The 4-color problem of a map has perplexed us for years. By studying adjacent regions’ array, a simple method was put up to solve it successfully. The regions encircled by other one need to be studied later.

Key words: four-color problem; adjacent region; odd and even

作者简介：河北栾城人，华北水利水电学院 Email:zhfayang@126.com

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