POJ_1845_Sumdiv_各种数学

今天做两道数学题被虐哭了哦凑，全是查了题解才解决的

题意：

给两个整数A，B，令S为所有可以整除A^B的数的和，求S%9901

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

正常一点的想法都是把A分解为质因数，根据整数的唯一分解定理，可以把它写成(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)的形式，pi均为素数。

我的思路到这就没了，因为我想跑程序来求各种组合，但其实可以用数学来轻松解决。

A的所有因数的和可以写成(1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)，虽说不熟悉这个，但是脑海深处还是有铲子讲过的感觉。

这样就可以运用同余定理轻松解决了，只要有足够快的算法。

最后一个问题就来了，k值应该要乘以b，这样就会非常大，直接用等比数列求和公式会溢出（除法不能用同余定理），生求累乘O(N)仍然会超时。

然后就要二分，把1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1这样的数列和像快速幂那样二分求解，每次缩小一半，因为等比所以很容易实现，这样提高了效率，还可以运用同余定理。

最后一直RE，十分诡异，后来发现是没加特判，题目很奇葩的数据范围包括0,包括0^0这种奇怪的东西都出现了

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
#define mxn 10000
#define mod 9901
long long a,b;
long long rec[mxn],cnt[mxn];
int cur;
void set(long long in){cur=0;for(long long i=2;i<=sqrt(in+0.0);++i)    if(in%i==0){rec[cur]=i;cnt[cur]=0;while(in%i==0){++cnt[cur];in/=i;}++cur;}if(in>1){rec[cur]=in;cnt[cur++]=1;}
}
long long quick_power(long long x,int n){if(n==1) return x%mod;long long tem=quick_power(x,n/2);if(n%2)  return tem*tem%mod*x%mod;return tem*tem%mod;
}
long long power(int id,int n){if(n==1)    return (rec[id]+1)%mod;if(n%2==0){long long tem=quick_power(rec[id],n/2);return (power(id,n/2)*(1+tem)%mod-tem+mod)%mod;}return (power(id,n-1)+quick_power(rec[id],n))%mod;
}
int main(){while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){if(!a){puts("0");continue;}if(!b){puts("1");continue;}set(a);long long ans=1;for(int i=0;i<cur;++i){long long tem=power(i,cnt[i]*b);ans=(ans*tem)%mod;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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