【Codeforces 891 E】 Lust（生成函数）

传送门

考虑每次贡献可以差分成aj∏i≠jai−(aj−1)∏i≠jaia_j\prod_{i\not=j}a_i-(a_j-1)\prod_{i\not=j}a_iaj∏i=jai−(aj−1)∏i=jai
那么可以发现最后答案就是∏iai−E(∏idi)，di表示操作完后的ai\prod_{i}a_i-E(\prod_{i}d_i)，d_i表示操作完后的a_i∏iai−E(∏idi)，di表示操作完后的ai
考虑求后面一块
显然可以构造生成函数
ft(x)=∑i=0∞(at−i)xii!f_t(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(a_t-i)x^i}{i!}ft(x)=i=0∑∞i!(at−i)xi
求得就是就是k!nk[xk]∏ifi(x)\frac{k!}{n^k}[x^k]\prod_if_i(x)nkk![xk]∏ifi(x)
考虑ft(x)=at∑ixii!−∑ixi+1i!=(at−x)exf_t(x)=a_t\sum_{i}\frac{x^i}{i!}-\sum_i\frac{x^{i+1}}{i!}=(a_t-x)e^xft(x)=at∑ii!xi−∑ii!xi+1=(at−x)ex
那么考虑最后乘出来的多项式为enx(∏t(at−x))=enx∑igixie^{nx}(\prod_{t}(a_t-x))=e^{nx}\sum_{i}g_ix^ienx(∏t(at−x))=enx∑igixi
那么就是k!nk∑i=0nfi∗nk−i(k−i)!=ki‾fi/ni\frac{k!}{n^k}\sum_{i=0}^nf_i*\frac{n^{k-i}}{(k-i)!}=k^{\underline i}f_i/n^inkk!∑i=0nfi∗(k−i)!nk−i=kifi/ni

暴力做多项式乘法是O(n2)O(n^2)O(n2)
如果写mttmttmtt可以做到O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;(ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){char ch=gc();int res=0;bool f=1;while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();return f?res:-res;
}
inline ll readll(){char ch=gc();ll res=0;bool f=1;while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();return f?res:-res;
}
inline int readstring(char *s){int top=0;char ch=gc();while(isspace(ch))ch=gc();while(!isspace(ch)&&ch!=EOF)s[++top]=ch,ch=gc();return top;
}
template<typename tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<typename tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline int fix(int x){return (x<0)?x+mod:x;}
cs int N=5005;
int f[N],n,k;
int a[N];
int main(){#ifdef Stargazerfreopen("lx.in","r",stdin);#endifn=read(),k=read();f[0]=1;int res=1;for(int i=1;i<=n;i++){int x=read();Mul(res,x);for(int j=i;~j;j--){Mul(f[j],x);if(j)Dec(f[j],f[j-1]);}}for(int pw1=1,pw2=1,mt=Inv(n),i=0;i<=n;i++){Dec(res,mul(pw1,mul(pw2,f[i])));Mul(pw1,k-i),Mul(pw2,mt);}cout<<res<<'\n';return 0;
}

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