代数方程解的存在性和唯一性（if and only if）

1、存在性

定义一个函数f:X→Yf:X\to Y，对于值域上的每一个b∈Yb\in Y，方程f(x)=bf(x)=b在定义域上有解吗？

如果有解，那么该函数是一个满射，或叫ontoonto (surjective) function\ (surjective)\ function 。所以，满射是解存在的前提条件。

满射定义：∀y∈Y,∃x∈X,s.t.f(x)=y\forall y\in Y, \quad \exists x\in X,\quad s.t.\quad f(x)=y

2、唯一性

如果解存在，那么解是唯一的还是有很多？

对于一个方程T(x)=bT(x)=b，如果值域上的每一个bb最多有一个解，则函数TT叫做单射或一对一映射，即one to one (injective) functionone\ to\ one\ (injective)\ function。

所以，单射是解唯一性的前提条件。

单射定义：∀x∈X,∃y∈Y,s.t.f(x)=yandx1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)\forall x\in X, \quad \exists y\in Y,\quad s.t.\quad f(x)=y\quad and\quad x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)

第一个例子。

身份证号函数ff：中国人→\to身份证号。这个函数不是一个满射，因为有的人已经去世，身份证号
再没有对应的人了；但是这是一个单射，因为每一个中国人只有一个身份证号（理论意义上）。

第二个例子。

定义一个函数f:R→R+f:\mathbb R\to\mathbb R^+，x↦x2x\mapsto x^2，这是一个满射，因为每一个正实数都存在一个实数域内的平方根。但很显然不是一个单射，因为任何一个正数都存在两个平方根，一正一负。

后记

1、可逆

如果一个函数TT既是满射也是单射，即单调，则该函数可逆。因为满射保证了T−1T^{-1}的定义域存在，而单射保证了值域的唯一性。

但是函数的可逆性并不能保证映射既是满射也是单射。因为一个不可逆的函数可以在值域的某个范围内是可逆的，比如f=x2f=x^2，在其单调区间上是可逆的，比如[0,+∞][0, +\infty]。

2、复合函数

定义函数f:C→Df:C\to D和函数g:A→Bg:A\to B，满足B⊂CB\subset C，则复合函数(f∘g):A→D(f\circ g):A\to D定义为

(f∘g)(x)≡f(g(x))

(f\circ g)(x)\equiv f(g(x))
或者可写为

A−→gB⊂C−→fD

A\xrightarrow[g] {}B\subset C\xrightarrow[f] {}D
注意，要使 f∘gf\circ g有意义，则 gg的值域包含于ff的定义域。

一个直观例子。

定义FF为父亲，MM为母亲，则F∘MF\circ M表示母亲的父亲，即外祖父；而M∘FM\circ F表示父亲的母亲，即祖母。

可见复合算子是不满足交换律的。

F∘(F∘M)F\circ (F\circ M)表示外祖父的父亲；(F∘F)∘M(F\circ F)\circ M表示母亲的祖父。可见是同一个人。所以，复合算子满足结合律。与矩阵的乘法相似。

满射之间的复合仍为满射。

单射之间的复合仍为单射。

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