简单实现RSA加密

简单实现RSA加密
- 理论基础
  - 互质概念
  - 欧拉函数和欧拉定理
  - 模反元素
- RSA的简单实现
- 加密和解密
- 代码

理论基础

实现RSA的算法需要一部分数学基础。

互质概念

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系，不难得到以下结论：

　　1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

欧拉函数和欧拉定理

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是：
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立。a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

模反元素

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的”模反元素”。

RSA的简单实现

第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。

第二步，计算p和q的乘积n。

第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：

φ(n) = (p-1)(q-1)

第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
根据公式：

ed - 1 = kφ(n)

这个方程可以用”扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体过程。

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

加密要用公钥 (n,e)，所谓”加密”，就是算出下式的c：

me ≡ c (mod n)

解密要用私钥(n,d)，通过已知的c算出m：

cd ≡ m (mod n)

至此，”加密–解密”的整个过程全部完成。

代码

package etc;import java.util.Random;/*** 简单实现RAS加密* Created by Administrator on 2018/2/2.*/
public class RSASimple {public static void main(String[] args) {buildN();buildD(E,faiN);while (d<=1){buildN();buildD(E,faiN);}System.out.println("public:"+N+","+E);System.out.println("private:"+N+","+d);long message=RSASimpleBoxing(65);System.out.println(message);System.out.println(RSASimpleReboxing(message));}//加密public static long RSASimpleBoxing(long m){long c= 1;for(int i=0;i<E;i++){c*=m;if(c>N)c%=N;}return c;}//解密public static long RSASimpleReboxing(long c){long m=1;for(int i=0;i<d;i++){m*=c;if(m>N)m%=N;}return m;}//测试数据public static final int E=17;public static long p=61;public static long q=53;public static long N=3233;public static long faiN=3120;public static long d=2753;//随机生成p,qpublic static void buildN(){Random r=new Random();int[] primeArr=new int[100];int temp=2,num=0;while (num!=100){if(isPrime(temp)){primeArr[num]=temp;num++;}temp++;}p= primeArr[r.nextInt(100)];q= primeArr[r.nextInt(100)];while (p==q){q=primeArr[r.nextInt(100)];}N= p*q;faiN=(p-1)*(q-1);
//        System.out.println(p+" "+q+" "+N+" "+faiN);}//计算dpublic static void buildD(long E,long faiN){long[] result=extend_gcd(E,faiN);d=result[1];}//判断素数public static boolean isPrime(long n){if(n<=1)return false;else if(n==2)return true;else if(n==4)return false;for(int i=2;i<n/2;i++){if(n%i==0){return false;}}return true;}//扩展欧几里得算法，已知ab求解xy//返回的数组中，第一个值是最大公约数，第二个值表示C++语言实现中的x，第三个值表示y。//TODO:这个算法会让生成的d为负数，造成解密失败public static long[] extend_gcd(long a,long b){long ans;long[] result=new long[3];if(b==0){result[0]=a;result[1]=1;result[2]=0;return result;}long [] temp=extend_gcd(b,a%b);ans = temp[0];result[0]=ans;result[1]=temp[2];result[2]=temp[1]-(a/b)*temp[2];return result;}}

参考博文：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

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