一、运输规划涉及内容

运输规划涉及内容 :

① 运输规划问题的数学模型 ;

② 表上作业法 ;

③ 运输问题应用 ;

二、运输规划问题的数学模型

将两个产地 A1\rm A_1A1 , A2\rm A_2A2 的物品运往三个销售地 B1\rm B_1B1 , B2\rm B_2B2 , B3\rm B_3B3 ,

各地的产量 , 销量 ,

各个产地运往各个销售地的每件物品的运费如下图所示 :

	B1\rm B_1B1	B2\rm B_2B2	B3\rm B_3B3	产量
A1\rm A_1A1	666	444	666	200200200
A2\rm A_2A2	666	555	555	300300300
销量	150150150	150150150	200200200

A1,A2\rm A_1 , A_2A1,A2 的产量之和是 500500500 ,

B1,B2,B3\rm B_1 , B_2 , B_3B1,B2,B3 的总的销量之和是 500500500 ,

上述产量之和等于销量之和 , 是产销平衡的 ;

不同的产地运往不同的销地 , 运费不同 , 如何合理安排运输 , 能使总运费最少 ;

这里存在一个产销平衡问题 : 总产量 = 总销量 = 500500500 ;

假设变量 :

	B1\rm B_1B1	B2\rm B_2B2	B3\rm B_3B3	产量
A1\rm A_1A1	x1\rm x_1x1	x2\rm x_2x2	x3\rm x_3x3	200200200
A2\rm A_2A2	x4\rm x_4x4	x5\rm x_5x5	x6\rm x_6x6	300300300
销量	150150150	150150150	200200200

A1\rm A_1A1 产地运往 B1\rm B_1B1 产地的产品数量是 x1\rm x_1x1 ,

A1\rm A_1A1 产地运往 B2\rm B_2B2 产地的产品数量是 x2\rm x_2x2 ,

A1\rm A_1A1 产地运往 B3\rm B_3B3 产地的产品数量是 x3\rm x_3x3 ,

A2\rm A_2A2 产地运往 B1\rm B_1B1 产地的产品数量是 x4\rm x_4x4 ,

A2\rm A_2A2 产地运往 B2\rm B_2B2 产地的产品数量是 x5\rm x_5x5 ,

A2\rm A_2A2 产地运往 B3\rm B_3B3 产地的产品数量是 x6\rm x_6x6 ;

存在以下等式约束 :

A1\rm A_1A1 的产量 x1+x2+x3=200\rm x_1 + x_2 + x_3 = 200x1+x2+x3=200 ;

A2\rm A_2A2 的产量 x4+x5+x6=300\rm x_4 + x_5 + x_6 = 300x4+x5+x6=300 ;

B1\rm B_1B1 的销量 x1+x4=150\rm x_1 + x_4 = 150x1+x4=150 ;

B2\rm B_2B2 的销量 x2+x5=150\rm x_2 + x_5= 150x2+x5=150 ;

B3\rm B_3B3 的销量 x3+x6=200\rm x_3 + x_6= 200x3+x6=200 ;

变量约束 : 每个变量肯定大于等于 0 ;

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0\rm x_1, x_2, x_3 , x_4 , x_5 , x_6 \geq 0x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

目标函数 : 目的是为了使运费最小 ;

minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6\rm minW = 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4 + 5x_5 + 5x_6minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6

上述的目标函数与约束方程都是线性的 , 因此该规划是线性规划 ;

最终的线性规划如下 :

minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.t{x1+x2+x3=200x4+x5+x6=300x1+x4=150x2+x5=150x3+x6=200x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4 + 5x_5 + 5x_6 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 + x_2 + x_3 = 200 \\\\ \rm x_4 + x_5 + x_6 = 300 \\\\ \rm x_1 + x_4 = 150 \\\\ \rm x_2 + x_5= 150 \\\\ \rm x_3 + x_6= 200 \\\\ \rm x_1, x_2, x_3 , x_4 , x_5 , x_6 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1+x2+x3=200x4+x5+x6=300x1+x4=150x2+x5=150x3+x6=200x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

使用单纯形法对上述规划求解即可得到最优解 ;

单纯形法解线性规划最优解过程 :

① 基可行解 : 先找到一个初始基可行解 ;

② 检验数 : 计算检验数 , 判定当前基可行解是否是最优解 ;

③ 迭代 : 根据检验数确定入基变量 , 根据入基变量系数计算出基变量 , 然后进行同解变换 , 生成新的单纯形表 , 继续计算检验数 ;

首先确定基是多少 , 将上述线性规划 , 转为标准形 , 约束方程的系数矩阵 Am×n\rm A_{m \times n}Am×n 是 m×n\rm m \times nm×n 矩阵 , n≥m\rm n \geq mn≥m , n\rm nn 是变量个数 , m\rm mm 是约束方程个数 ,

假设 Am×n\rm A_{m \times n}Am×n 矩阵是行满秩的 , 即秩为 m\rm mm , 约束方程个数为 m\rm mm , 上述运输问题的约束方程个数是 555 个 ;

上述运输问题的系数矩阵为 : 555 个约束方程对应的是 5×6\rm 5 \times 65×6 矩阵 ;

(111000000111100100010010001001)\begin{pmatrix} \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad \\\\ \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛111000000111100100010010001001⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

运输问题约束方程的系数矩阵都是由 000 或 111 组成的 , 这种矩阵称为稀疏矩阵 , 稀疏矩阵的计算要远远比正常的矩阵更简单 ;

针对运输问题 , 存在一个简化版的单纯形法 ;

简化版的单纯形法与单纯形法的框架基本类似 , 也需要按照 ① 初始基可行解 , ② 最优解判定 , ③ 迭代 , 步骤进行计算 ;

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二、运输规划问题的数学模型

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