排列组合之错排问题总结

目测最近要刷刷关于排列组合的题目。。。

所以现在将遇到的那些熟悉却已经忘记的问题都总结一下。。

第一发：错排以及错排公式

其实错排问题对于程序算法而言，就是递归问题。因为错排的理解其实就是相当于阶乘似的不断递归。

而且最关键的是很容易理解。不想阶乘那样，一旦超过一个上限，还要用大数来表示。。。。

好吧，废话说完了。具体的错排算法如下：

递推的推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n）表示，那么M(n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时 有两种情况⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2）种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有M(n-1）种方法；

综上得到

M(n) = (n-1) * [ M(n-2) + M(n-1) ]

特殊地，M(1) = 0 ; M (2) = 1 ;

下面通过这个递推关系推导通项公式：

为方便起见，设M(k)=k!N(k),(k=1,2，…，n)

则N⑴=0,N⑵=1/2

n>=3时，n!N(n)=(n-1）（n-1）！N(n-1）+(n-1）！N(n-2）

即 nN(n)=(n-1）N(n-1）+N(n-2）

于是有N(n)-N(n-1）=-[N(n-1）-N(n-2）]/n=(-1/n)[-1/(n-1）][-1/(n-2）]…（-1/3）[N⑵-N⑴]=(-1）^n/n!

因此

N(n-1）-N(n-2）=(-1）^(n-1）/(n-1）！

N⑵-N⑴=(-1）^2/2!

相加，可得

N(n)=(-1）^2/2!+…+(-1）^(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!

因此

M(n)=n![(-1）^2/2!+…+(-1）^(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!]

可以得到

错排公式为M(n) = n! *（1/2! - 1/3! + ….. + (-1)^n / n! )

容斥原理

正整数1、2、3、……、n的全排列有n！种，其中第k位是k的排列有（n-1）！，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1）！种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1）^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1）^k*n!/k!

即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1）^n/n!]

注：sigma表示连加符号，（k=2~n）是连加的范围

简化公式

另外：书上的错排公式为Dn=n！（1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1）^n/n！）（注：0！=1，参见阶乘），此公式算n很大时就很不方便．后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子 Dn=[n!/e+0.5] （e，即自然对数的底,[x]为取整函数即x向下取整．）

公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e-1的前项与之相同，然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1）<0.5，于是就得到这个简单而优美的公式（此仅供参考）

参考文献：《百度百科》--错排公式: http://baike.baidu.com/link?url=LdDlJZHDHdqkfILN7YlPcC9AhlkvHPgZf5wbGnbOy3WmFWdL_OiClbJr006hYgsh