这里先提前介绍一下题目所说的Legendre定理

在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的最高指数记为 $L_{p}(n!)$ ,则 $L_{p}(n!)$ $=\sum_{k\geq 1}[\frac{n}{p^{k}}]$

这里简单的解释一下这个Legendre定理。

我们知道每一个正实数都可以分解成如下的形式： $x=p_{1}^{w_{1}}*p_{2}^{w_{2}}*...*p_{n-1}^{w_{n-1}}*p_{n}^{w_{n}}$ （ $p_{a}$ 表示一个指数，w表示这个质数的指数）

什么意思呢，比如一个数12，就可以把它分解成 $12=2^{2}*3$ 。

那么同理， $n!$ 我们就可以看成这个数，根据Legendre定理，我们枚举每一个从小到大直到n的质数，之后新的变量k从1开始依次加1，直到 $p^{k}>n$ ,指数每次都加 $[\frac{n}{p^{k}}]$ 。那么p的最高指数就是这些 $[\frac{n}{p^{k}}]$ 相加，具体的实现请看代码。

题目

问题 K(2318): 因子和阶乘

时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB

题目描述

输入正整数N(2 <= N <= 100)，把阶乘N!= 1 * 2 * 3 * ... * N分解成质因子相乘的形式，从小到大输出各个质因子(2, 3, 5, ...)的指数。例如825 = 3 * 5^2 * 11，应表示成(0, 1, 2, 0, 1)，表示分别有0个2，1个3，2个5，0个7，1个11。

你的程序应该忽略比最大质因子更大的质数，否则输出项的末尾会有无穷多个0。

输入

第1行：一个正整数N

输出

第1行：若干个整数，之间用一个空格分开，表示N!的各个质因子的指数

样例输入
样例1：
5
样例2：
53
样例输出
样例1：
3 1 1
样例2：
49 23 12 8 4 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1

看完题目后我们就发现，这道题其实就是完全运用 Legendre定理，不用任何优化。所以我们只需用编程语音写出来就行。

代码

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;#define LL long long
#define M 100010
#define N 500010
#define MOD 1234567
#define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(a))LL read() {LL f=1,s=0;char a=getchar();while(a<'0' || a>'9') { if(a=='-') f=-1; a=getchar(); }while(a>='0' && a<='9') { s=s*10+a-'0'; a=getchar(); }return f*s;
}LL n=read(),ps[1001],cnt;LL is_prime (LL n) {//判断是否为质数for(LL i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0)return 0;return 1;
}LL qkpow(LL a,LL b)//快速幂，快速求出a^b
{LL ans=1,y=a;while(b>0){if(b&1){ans=ans*a;}a=a*a;b>>=1;}return ans;
}int main() {for(int i=2;i<=n;i++)//ps数组是每个质数的指数if(is_prime(i)) {cnt++;for(int k=1;qkpow(i,k)<=n;k++)ps[cnt]+=n/qkpow(i,k);}cout<<ps[1];for(int i=2;i<=cnt;i++)cout<<' '<<ps[i];
}

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C++数论之Legendre定理的运用：因子和阶乘

题目

问题 K(2318): 因子和阶乘

题目描述

输入

输出

样例输入

样例输出

代码

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