【证明】相似矩阵的特征值相同

定理 1　若 nnn 阶矩阵 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 相似，则 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 的特征多项式相同，从而 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 的特征值亦相同。

证明　因为 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 相似，即有可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使
P−1AP=B(1)\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B} \tag{1} P−1AP=B(1)
因为单位矩阵与任何同阶方阵都是可交换的（证明见 “矩阵可交换的定义和性质”），所以有
λE=λE(P−1P)=P−1(λE)P(2)\lambda \boldsymbol{E} = \lambda \boldsymbol{E} (\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{P}) = \boldsymbol{P}^{-1} (\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P} \tag{2} λE=λE(P−1P)=P−1(λE)P(2)
将 (1)(1)(1) 和 (2)(2)(2) 代入矩阵 B\boldsymbol{B}B 的特征多项式 ∣B−λE∣|\boldsymbol{B} - \lambda \boldsymbol{E}|∣B−λE∣，有
∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣=∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣(A−λE)∣∣P∣=∣(A−λE)∣\begin{align*} |\boldsymbol{B} - \lambda \boldsymbol{E}| & = |\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}^{-1} (\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}| \\ & = |\boldsymbol{P}^{-1} (\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}| \\ & = |\boldsymbol{P}^{-1}| |(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E})| |\boldsymbol{P}| \\ & = |(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E})| \end{align*} ∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣=∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣(A−λE)∣∣P∣=∣(A−λE)∣
所以 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 的特征多项式相同。得证。

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